Serie de Fourier y transformada
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En el último tutorial sobre análisis en el dominio de la frecuencia, discutimos que la serie de Fourier y la transformada de Fourier se utilizan para transformar una señal en el dominio de la frecuencia.
Fourier fue matemático en 1822. Dio una serie de Fourier y una transformada de Fourier para transformar una señal en el dominio de la frecuencia.
La serie de Fourier simplemente establece que las señales periódicas se pueden representar como la suma de senos y cosenos cuando se multiplican por un cierto peso. Además, dice que las señales periódicas se pueden dividir en señales adicionales con las siguientes propiedades.
Puede visualizarse como
En la señal anterior, la última señal es en realidad la suma de todas las señales anteriores. Fue idea de Fourier.
Porque, como vimos en el dominio de la frecuencia, para procesar una imagen en el dominio de la frecuencia, primero necesitamos transformarla usándola en el dominio de la frecuencia, y necesitamos obtener una salida inversa para transformarla de nuevo en el dominio espacial.. Es por eso que tanto la serie de Fourier como la transformada de Fourier tienen dos fórmulas. Uno para transformar y otro para transformar de nuevo al dominio espacial.
Esta fórmula puede denotar la serie de Fourier.
Lo contrario se puede calcular usando esta fórmula.
La transformada de Fourier simplemente establece que las señales no periódicas cuyo área bajo la curva es finita también se pueden representar como integrales de senos y cosenos después de multiplicar por un cierto peso.
La transformada de Fourier tiene muchas aplicaciones amplias, incluida la compresión de imágenes (como la compresión JPEG), el filtrado y el análisis de imágenes.
Aunque Fourier especifica tanto la serie de Fourier como la transformada de Fourier, la diferencia entre ellas es que la serie de Fourier se aplica a señales periódicas y la transformada de Fourier se aplica a señales no periódicas.
Ahora la pregunta es cuál se aplica a las imágenes, la serie de Fourier o la transformada de Fourier. Bueno, la respuesta a esta pregunta es qué son las imágenes. Las imágenes no son periódicas. Y dado que las imágenes no son periódicas, la transformada de Fourier se utiliza para transformarlas en el dominio de la frecuencia.
Dado que estamos tratando con imágenes, y de hecho con imágenes digitales, para las imágenes digitales trabajaremos en la transformada discreta de Fourier.
Considere el término de Fourier anterior de la sinusoide. Incluye tres cosas.
La frecuencia espacial está directamente relacionada con el brillo de la imagen. La magnitud de una sinusoide está directamente relacionada con el contraste. El contraste es la diferencia entre la intensidad máxima y mÃnima de pÃxeles. La fase contiene información sobre el color.
La fórmula para la transformada de Fourier discreta 2D se da a continuación.
La Transformada de Fourier discreta es en realidad la Transformada de Fourier discreta, por lo que contiene algunos patrones que representan la imagen. En la fórmula anterior, f (x, y) denota una imagen y F (u, v) denota una transformada de Fourier discreta. La fórmula para la transformada de Fourier discreta inversa 2D se da a continuación.
La transformada de Fourier discreta inversa convierte la transformada de Fourier de nuevo en una imagen
Ahora veremos una imagen para la cual calcularemos el espectro de las magnitudes de FFT y luego el espectro desplazado de las magnitudes de FFT y luego tomaremos el logaritmo de ese espectro desplazado.
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