Sistemas de control – Álgebra de diagramas de bloques
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Un álgebra de diagrama de flujo no es más que álgebra asociada con los elementos básicos de un diagrama de flujo. Este álgebra se ocupa de la representación gráfica de ecuaciones algebraicas.
Hay tres tipos principales de comunicación entre los dos bloques.
La conexión en serie también se llama conexión en cascada… En la siguiente figura, dos bloques con funciones de transferencia $ G_1 (s) $ y $ G_2 (s) $ están conectados en serie.
Para esta combinación, obtenemos el resultado $ Y (s) $ como
$$ Y (s) = G_2 (s) Z (s) $$
Donde $ Z (s) = G_1 (s) X (s) $
$$ \Rightarrow Y (s) = G_2 (s)[G_1(s)X(s)]= G_1 (s) G_2 (s) X (s) $$
$$ \Rightarrow Y (s) = lbrace G_1 (s) G_2 (s) rbrace X (s) $$
Compare esta ecuación con la forma estándar de la ecuación de salida, $ Y (s) = G (s) X (s) $. Donde $ G (s) = G_1 (s) G_2 (s) $.
Esto significa que podemos imaginar conexión serial de dos cuadras con una cuadra. La función de transferencia de este único bloque es producto de funciones de transferencia estos dos bloques. A continuación se muestra un diagrama de bloques equivalente.
De manera similar, puede imaginarse conectando n bloques en serie con un bloque. La función de transferencia de este único bloque es el producto de las funciones de transferencia de todos estos «n» bloques.
Bloques conectados en paralela tendrá la misma entrada… En la siguiente figura, dos bloques con funciones de transferencia $ G_1 (s) $ y $ G_2 (s) $ están conectados en paralelo. Las salidas de estos dos bloques están conectadas al punto de suma.
Para esta combinación, obtenemos el resultado $ Y (s) $ como
$$ Y (s) = Y_1 (s) + Y_2 (s) $$
Donde $ Y_1 (s) = G_1 (s) X (s) $ y $ Y_2 (s) = G_2 (s) X (s) $
$$ \Rightarrow Y (s) = G_1 (s) X (s) + G_2 (s) X (s) = lbrace G_1 (s) + G_2 (s) rbrace X (s) $$
Compare esta ecuación con la forma estándar de la ecuación de salida, $ Y (s) = G (s) X (s) $.
Donde $ G (s) = G_1 (s) + G_2 (s) $.
Esto significa que podemos imaginar coneccion paralela de dos cuadras con una cuadra. La función de transferencia de este único bloque es suma de funciones de transferencia estos dos bloques. A continuación se muestra un diagrama de bloques equivalente.
Del mismo modo, puede imaginarse conectando n bloques en paralelo con un bloque. La función de transferencia de este único bloque es la suma algebraica de las funciones de transferencia de todos estos «n» bloques.
Como comentamos en capítulos anteriores, hay dos tipos Realimentación – críticas positivas y críticas negativas. La siguiente figura muestra un sistema de control de retroalimentación negativa. Aquí dos bloques con funciones de transferencia $ G (s) $ y $ H (s) $ forman un ciclo cerrado.
Salida de punto de suma –
$$ E (s) = X (s) -H (s) Y (s) $$
Salida $ Y (s) $ –
$$ Y (s) = E (s) G (s) $$
Inserte el valor de $ E (s) $ en la ecuación anterior.
$$ Y (s) = left {X (s) -H (s) Y (s) rbrace G (s) right } $$
$$ Y (s) left {1 + G (s) H (s) rbrace = X (s) G (s) right } $$
$$ \Rightarrow \frac {Y (s)} {X (s)} = \frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $$
Por lo tanto, la función de transferencia de circuito cerrado de retroalimentación negativa es igual a $ \frac {G (s)} {1 + G (s) H (s)} $
Esto significa que podemos representar la retroalimentación negativa de dos bloques como un bloque. La función de transferencia de este bloque único es la función de transferencia de bucle cerrado de retroalimentación negativa. A continuación se muestra un diagrama de bloques equivalente.
De manera similar, puede imaginarse conectando dos bloques con retroalimentación positiva a un bloque. La función de transferencia de este bloque único es una función de transferencia de bucle cerrado de retroalimentación positiva, es decir, $ Frac {G (s)} {1-G (s) H (s)} $
Hay dos posibilidades para cambiar los puntos de suma en relación con los bloques:
Veamos ahora qué medidas se deben tomar en los dos casos anteriores, uno tras otro.
Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí, el punto de suma está delante del bloque.
El punto de suma tiene dos entradas $ R (s) $ y $ X (s) $. El resultado será $ left {R (s) + X (s) right } $.
Entonces, la entrada al bloque $ G (s) $ es $ left {R (s) + X (s) right } $, y la salida es
$$ Y (s) = G (s) left {R (s) + X (s) right } $$
$ \Rightarrow Y (s) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Ecuación 1)
Ahora mueva el punto de suma después del bloque. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
La salida del bloque $ G (s) $ es igual a $ G (s) R (s) $.
Salida de punto de suma:
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Ecuación 2)
Compare la Ecuación 1 y la Ecuación 2.
El primer término $ ‘G (s) R (s)’ $ es el mismo en ambas ecuaciones. Pero hay una diferencia en el segundo término. Para que el segundo término sea el mismo, necesitamos otro bloque $ G (s) $. Tiene una entrada $ X (s) $, y la salida de ese bloque se proporciona como entrada a un punto de suma en lugar de $ X (s) $. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí el punto de suma está después del bloque.
El resultado de este diagrama de flujo es:
$ Y (s) = G (s) R (s) + X (s) $ (Ecuación 3)
Ahora mueva el punto de suma al frente del bloque. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
El resultado de este diagrama de flujo es:
$ Y (S) = G (s) R (s) + G (s) X (s) $ (Ecuación 4)
Compare la Ecuación 3 y la Ecuación 4,
El primer término $ ‘G (s) R (s)’ $ es el mismo en ambas ecuaciones. Pero hay una diferencia en el segundo término. Para que el segundo término sea el mismo, necesitamos un bloque más $ \frac {1} {G (s)} $. Tiene una entrada $ X (s) $, y la salida de ese bloque se proporciona como entrada al punto de suma en lugar de $ X (s) $. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
Hay dos posibilidades para compensar los puntos de despegue con respecto a los bloques:
Veamos ahora qué medidas se deben tomar en los dos casos anteriores, uno tras otro.
Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. En este caso, el punto de despegue está frente al bloque.
Aquí $ X (s) = R (s) $ y $ Y (s) = G (s) R (s) $
Cuando mueva el punto de despegue después del bloque, el resultado de $ Y (s) $ será el mismo. Pero hay una diferencia en el costo de $ X (s) $. Entonces, para obtener el mismo valor de $ X (s) $, necesitamos un bloque más $ \frac {1} {G (s)} $. Tiene una entrada $ Y (s) $ y una salida $ X (s) $. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
Considere el diagrama de bloques que se muestra en la siguiente figura. Aquí el punto de despegue está presente después del bloque.
Aquí $ X (s) = Y (s) = G (s) R (s) $
Cuando mueve el punto de despegue frente al bloque, el resultado de $ Y (s) $ es el mismo. Pero hay una diferencia en el costo de $ X (s) $. Entonces, para obtener el mismo valor $ X (s) $, necesitamos otro bloque $ G (s) $. Tiene una entrada $ R (s) $ y una salida $ X (s) $. Este diagrama de bloques se muestra en la siguiente figura.
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