Sistemas de control: modelos matemáticos
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Los sistemas de control se pueden representar mediante un conjunto de ecuaciones matemáticas conocidas como modelo matemático… Estos modelos son útiles para el análisis y diseño de sistemas de control. Analizar un sistema de control significa encontrar una salida cuando conocemos la entrada y el modelo matemático. Diseñar un sistema de control significa buscar un modelo matemático cuando conocemos la entrada y la salida.
Se utilizan principalmente los siguientes modelos matemáticos.
Analicemos los dos primeros modelos de este capítulo.
Un modelo de ecuación diferencial es un modelo matemático de sistemas de control en el dominio del tiempo. Siga estos pasos para el modelo de ecuación diferencial.
Aplicar las leyes básicas al sistema de control dado.
Obtenga la ecuación diferencial en términos de datos de entrada y salida eliminando las variables intermedias.
Considere el siguiente sistema eléctrico como se muestra en la siguiente figura. Este circuito consta de una resistencia, un inductor y un condensador. Todos estos elementos eléctricos están conectados en serie… El voltaje de entrada aplicado a este circuito es $ v_i $, y el voltaje a través del capacitor es el voltaje de salida $ v_o $.
La ecuación de cuadrícula para este circuito es:
$$ v_i = Ri + L \frac { text {d} i} { text {d} t} + v_o $$
Sustituye la corriente a través del condensador $ i = c \frac { text {d} v_o} { text {d} t} $ en la ecuación anterior.
$$ \Rightarrow : v_i = RC \frac { text {d} v_o} { text {d} t} + LC \frac { text {d} ^ 2v_o} { text {d} t ^ 2} + v_o $$
$$ \Rightarrow \frac { text {d} ^ 2v_o} { text {d} t ^ 2} + \left ( \frac {R} {L} \right) \frac { text {d} v_o} { text {d} t} + \left ( \frac {1} {LC} \right) v_o = \left ( \frac {1} {LC} \right) v_i $$
La ecuación de segundo orden anterior ecuación diferencial…
El modelo de función de transferencia es un modelo matemático de sistemas de control en el dominio s. EN Función de transferencia Los sistemas con invariante en el tiempo lineal (LTI) se definen como la relación entre la transformada de Laplace en la salida y la transformada de Laplace en la entrada, asumiendo que todas las condiciones iniciales son iguales a cero.
Si $ x
Por lo tanto, la función de transferencia del sistema LTI es igual a la razón de $ Y (s) $ y $ X (s) $.
$$ es decir : Transferir : Función = \frac {Y (s)} {X (s)} $$
El modelo de función de transferencia del sistema LTI se muestra en la siguiente figura.
Aquí presentamos un sistema LTI con un bloque que tiene una función de transferencia en su interior. Y este bloque tiene una entrada $ X (s) $ y una salida $ Y (s) $.
Anteriormente, obtuvimos la ecuación diferencial del sistema eléctrico en la forma
$$ \frac { text {d} ^ 2v_o} { text {d} t ^ 2} + \left ( \frac {R} {L} \right) \frac { text {d} v_o} { texto {d} t} + \left ( \frac {1} {LC} \right) v_o = \left ( \frac {1} {LC} \right) v_i $$
Aplicar la transformada de Laplace en ambos lados.
$$ s ^ 2V_o (s) + \left ( \frac {sR} {L} \right) V_o (s) + \left ( \frac {1} {LC} \right) V_o (s) = \left ( \frac {1} {LC} \right) V_i (s) $$
$$ \Rightarrow left {s ^ 2 + \left ( \frac {R} {L} \right) s + \frac {1} {LC} right } V_o (s) = \left ( \frac {1} {LC} \right) V_i (s) $$
$$ \Rightarrow \frac {V_o (s)} {V_i (s)} = \frac { \frac {1} {LC}} {s ^ 2 + \left ( \frac {R} {L} \right) s + \frac {1} {LC}} $$
Dónde:
$ v_i (s) $ – Transformada de Laplace del voltaje de entrada $ v_i $
$ v_o (s) $ – Transformada de Laplace del voltaje de salida $ v_o $
La ecuación anterior es función de transferencia sistema eléctrico de segundo orden. El modelo de función de transferencia de este sistema se muestra a continuación.
Aquí mostramos un sistema eléctrico de segundo orden con un bloque dentro del cual hay una función de transferencia. Y este bloque tiene una entrada $ V_i (s) $ y una salida $ V_o (s) $.
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