Sistemas de control: análisis de estabilidad

En este capítulo, analicemos el análisis de la sostenibilidad en ‘s’ dominio utilizando el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz. Este criterio requiere una ecuación característica para determinar la estabilidad de los sistemas de control de bucle cerrado.

Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz

El criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz tiene una condición necesaria y una condición de estabilidad suficiente. Si algún sistema de control no satisface la condición necesaria, entonces podemos decir que el sistema de control es inestable. Pero si el sistema de control satisface la condición necesaria, entonces puede ser estable o no. Por tanto, una condición suficiente ayuda a saber si el sistema de control es estable o no.

Condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Una condición necesaria es que los coeficientes del polinomio característico deben ser positivos. Esto significa que todas las raíces de la ecuación característica deben tener partes reales negativas.

Considere la ecuación característica de orden n:

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} +… + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 = 0 $$

Tenga en cuenta que en enésimo ecuación de orden característico. Esto significa que enésimo La ecuación característica de orden no debe tener ningún coeficiente que tenga un valor cero.

Condición suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Una condición suficiente es que todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben tener el mismo signo. Esto significa que todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh deben ser positivos o negativos.

Método de matriz de Rous

Si todas las raíces de la ecuación característica existen en la mitad izquierda del plano s, entonces el sistema de control es estable. Si existe al menos una raíz de la ecuación característica en la mitad derecha del plano «s», entonces el sistema de control es inestable. Entonces, necesitamos encontrar las raíces de la ecuación característica para saber si el sistema de control es estable o inestable. Pero es difícil encontrar las raíces de la ecuación característica con orden creciente.

Entonces, para superar este problema, tenemos Método de matriz de Rous… En este método, no es necesario calcular las raíces de la ecuación característica. Primero, formule la tabla de Routh y encuentre el número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. El número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh da el número de raíces de la ecuación característica que existen en la mitad derecha del plano «s», y el sistema de control es inestable.

Siga este procedimiento para generar una tabla de Routh.

  • Complete las dos primeras filas de la matriz de Routh con los coeficientes del polinomio característico, como se indica en la tabla siguiente. Comience con el coeficiente $ s ^ n $ y aumente hasta el coeficiente $ s ^ 0 $.

  • Llene las filas restantes de la matriz de Routh con elementos como se muestra en la siguiente tabla. Continúe este proceso hasta que obtenga el primer elemento de la columna cadena $ s ^ 0 $ esto es $ a_n $. Aquí $ a_n $ es el coeficiente de $ s ^ 0 $ en el polinomio característico.

Nota – Si algún elemento de la fila de la tabla de Routh tiene algún factor común, entonces puede dividir los elementos de la fila por este factor para simplificar.

La siguiente tabla muestra la matriz de Routh del polinomio característico de enésimo orden.

$$ a_0s ^ n + a_1s ^ {n-1} + a_2s ^ {n-2} +… + a_ {n-1} s ^ 1 + a_ns ^ 0 $$

$ s ^ n $

$ a_0 $

$ a_2 $

$ a_4 ​​$

$ a_6 $

$ s ^ {n-1} $

$ a_1 $

$ a_3 $

$ a_5 $

$ a_7 $

$ s ^ {n-2} $

$ b_1 = \frac {a_1a_2-a_3a_0} {a_1} $

$ b_2 = \frac {a_1a_4-a_5a_0} {a_1} $

$ b_3 = \frac {a_1a_6-a_7a_0} {a_1} $

$ s ^ {n-3} $

$ c_1 = \frac {b_1a_3-b_2a_1} {b_1} $

$ c_2 = \frac {b_1a_55-b_3a_1} {b_1} $

$ vdots $

$ vdots $

$ vdots $

$ vdots $

$ vdots $

$ s ^ 1 $

$ vdots $

$ vdots $

$ s ^ 0 $

$ a_n $

Ejemplo

Encontremos la estabilidad de un sistema controlado con una ecuación característica,

$$ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Paso 1 – Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes del polinomio característico $ s ^ 4 + 3s ^ 3 + 3s ^ 2 + 2s + 1 $ son positivos. Entonces, el sistema de control satisface la condición necesaria.

Paso 2 – Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$ s ^ 4 $

$ 1 $

$ 3 $

$ 1 $

$ s ^ 3 $

$ 3 $

$ 2 $

$ s ^ 2 $

$ \frac {(3 times 3) – (2 times 1)} {3} = \frac {7} {3} $

$ \frac {(3 times 1) – (0 times 1)} {3} = \frac {3} {3} = 1 $

$ s ^ 1 $

$ \frac { \left ( \frac {7} {3} times 2 \right) – (1 times 3)} { \frac {7} {3}} = \frac {5} {7} $

$ s ^ 0 $

$ 1 $

Paso 3 – Compruebe el estado suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los elementos de la primera columna de la matriz de Routh son positivos. No hay cambio de signo en la primera columna de la matriz de Routh. Entonces el sistema de control es estable.

Casos especiales de la matriz de Routh

A la hora de formar la mesa de Routh, podemos afrontar dos tipos de situaciones. Es difícil construir una tabla de Routh a partir de estas dos situaciones.

Dos casos especiales:

  • El primer elemento de cualquier fila en una matriz de Routh es cero.
  • Todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero.

Analicemos ahora cómo superar las dificultades en estos dos casos, uno por uno.

El primer elemento de cualquier fila de una matriz de Routh es cero

Si alguna fila de la matriz de Routh contiene solo el primer elemento cero, y al menos uno de los elementos restantes es distinto de cero, reemplace el primer elemento con un pequeño entero positivo, $ epsilon $. Y luego continúe el proceso de llenado de la mesa Routh. Ahora encuentre el número de cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh, sustituyendo $ epsilon $, tiende a cero.

Ejemplo

Encontremos la estabilidad de un sistema controlado con una ecuación característica,

$$ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 = 0 $$

Paso 1 – Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes del polinomio característico $ s ^ 4 + 2s ^ 3 + s ^ 2 + 2s + 1 $ son positivos. Entonces, el sistema de control ha cumplido la condición necesaria.

Paso 2 – Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$ s ^ 4 $

$ 1 $

$ 1 $

$ 1 $

$ s ^ 3 $

2 1

2 1

$ s ^ 2 $

$ \frac {(1 times 1) – (1 times 1)} {1} = 0 $

$ \frac {(1 times 1) – (0 times 1)} {1} = 1 $

$ s ^ 1 $

$ s ^ 0 $

Los elementos de la cadena $ s ^ 3 $ tienen un divisor común de 2. Entonces, todos estos elementos son divisibles por 2.

Caso especial (i) – Solo el primer elemento de la cadena $ s ^ 2 $ es cero. Por lo tanto, reemplácelo con $ epsilon $ y continúe con el proceso de llenado de la tabla de Routh.

$ s ^ 4 $

uno

uno

uno

$ s ^ 3 $

uno

uno

$ s ^ 2 $

$ epsilon $

uno

$ s ^ 1 $

$ \frac { \left ( epsilon times 1 \right) – \left (1 times 1 \right)} { epsilon} = \frac { epsilon-1} { epsilon} $

$ s ^ 0 $

uno

Paso 3 – Compruebe el estado suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Como $ epsilon $ tiende a cero, la tabla de Routh se vuelve así.

$ s ^ 4 $

uno

uno

uno

$ s ^ 3 $

uno

uno

$ s ^ 2 $

0

uno

$ s ^ 1 $

-∞

$ s ^ 0 $

uno

Hay dos cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. En consecuencia, el sistema de control es inestable.

Todos los elementos de cualquier fila de la matriz de Routh son cero.

En este caso, siga estos dos pasos:

  • Escribe la ecuación auxiliar A (s) de la cuerda que se encuentra directamente encima de la cuerda de ceros.

  • Diferenciamos la ecuación auxiliar A (s) con respecto a s. Complete la fila de ceros con estos coeficientes.

Ejemplo

Encontremos la estabilidad de un sistema controlado con una ecuación característica:

$$ s ^ 5 + 3s ^ 4 + s ^ 3 + 3s ^ 2 + s + 3 = 0 $$

Paso 1 – Verificar la condición necesaria para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Todos los coeficientes de este polinomio característico son positivos. Entonces, el sistema de control ha cumplido la condición necesaria.

Paso 2 – Forme la matriz de Routh para el polinomio característico dado.

$ s ^ 5 $

uno

uno

uno

$ s ^ 4 $

3 1

3 1

3 1

$ s ^ 3 $

$ \frac {(1 times 1) – (1 times 1)} {1} = 0 $

$ \frac {(1 times 1) – (1 times 1)} {1} = 0 $

$ s ^ 2 $

$ s ^ 1 $

$ s ^ 0 $

Los elementos de la cadena $ s ^ 4 $ tienen un divisor común 3. Entonces, todos estos elementos son divisibles por 3.

Caso especial (ii) – Todos los elementos de la cadena $ s ^ 3 $ son iguales a cero. Entonces, escriba la ecuación auxiliar A (s) de la cadena $ s ^ 4 $.

$$ A (s) = s ^ 4 + s ^ 2 + 1 $$

Diferenciar la ecuación anterior con respecto a s.

$$ \frac { text {d} A (s)} { text {d} s} = 4s ^ 3 + 2s $$

Coloque estos coeficientes en la línea $ s ^ 3 $.

$ s ^ 5 $

uno

uno

uno

$ s ^ 4 $

uno

uno

uno

$ s ^ 3 $

4 2

2 1

$ s ^ 2 $

$ \frac {(2 times 1) – (1 times 1)} {2} = 0.5 $

$ \frac {(2 times 1) – (0 times 1)} {2} = 1 $

$ s ^ 1 $

$ \frac {(0.5 times 1) – (1 times 2)} {0.5} = \frac {-1.5} {0.5} = – 3 $

$ s ^ 0 $

uno

Paso 3 – Compruebe el estado suficiente para la estabilidad de Routh-Hurwitz.

Hay dos cambios de signo en la primera columna de la tabla de Routh. En consecuencia, el sistema de control es inestable.

En el criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz, podemos saber si los polos de un lazo cerrado están en la mitad izquierda del plano «s», en la mitad derecha del plano «s» o en el eje imaginario. Por tanto, no podemos comprender la naturaleza del sistema de control. Para superar esta limitación, existe un método conocido como lugar de raíces. Discutiremos esta técnica en los dos capítulos siguientes.

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