Ya hemos discutido el análisis en el dominio del tiempo de los sistemas de control y la especificación de los sistemas de control de segundo orden en el dominio del tiempo. En este capítulo, analicemos el análisis de respuesta en frecuencia de los sistemas de control y la especificación en el dominio de la frecuencia de los sistemas de control de segundo orden.
La respuesta del sistema se puede dividir en transitoria y en estado estable. Podemos encontrar la respuesta transitoria usando integrales de Fourier. La respuesta estable del sistema a una onda sinusoidal de entrada se conoce como respuesta frecuente… En este capítulo, nos centraremos solo en la respuesta de estado estacionario.
Si se utiliza una onda sinusoidal como entrada a un sistema de invariancia de tiempo lineal (LTI), produce una salida de estado estable, que también es una onda sinusoidal. Las señales sinusoidales de entrada y salida tienen la misma frecuencia pero diferentes amplitudes y ángulos de fase.
Deje que la señal de entrada sea –
$$ r
La función de transferencia de bucle abierto será:
$$ G (s) = G (j omega) $$
Podemos representar $ G (j omega) $ en términos de magnitud y fase como se muestra a continuación.
$$ G (j omega) = | G (j omega) | ángulo G (j omega) $$
Inserta $ \omega = omega_0 $ en la ecuación anterior.
$$ G (j omega_0) = | G (j omega_0) | ángulo G (j omega_0) $$
Señal de salida
$$ c
EN amplitud la onda sinusoidal de salida se obtiene multiplicando la amplitud de la onda sinusoidal de entrada por $ G (j omega) $ por $ \omega = omega_0 $.
EN fase la onda sinusoidal de salida se obtiene sumando la fase de la onda sinusoidal de entrada y la fase $ G (j omega) $ en $ \omega = omega_0 $.
Dónde:
Y – la amplitud de la señal sinusoidal de entrada.
ω0 es la frecuencia angular de la señal sinusoidal de entrada.
Podemos escribir la frecuencia angular $ omega_0 $ como se muestra a continuación.
$$ omega_0 = 2 pi f_0 $$
Aquí $ f_0 $ es la frecuencia de la señal sinusoidal de entrada. Del mismo modo, puede seguir el mismo procedimiento para un sistema de control de circuito cerrado.
Especificaciones de dominio de frecuencia: pico resonante, frecuencia resonante y ancho de banda…
Considere la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden como
$$ T (s) = \frac {C (s)} {R (s)} = \frac { omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 delta omega_ns + omega_n ^ 2} $$
Inserte $ s = j \omega $ en la ecuación anterior.
$$ T (j omega) = \frac { omega_n ^ 2} {(j omega) ^ 2 + 2 delta omega_n (j omega) + omega_n ^ 2} $$
$$ \Rightarrow T (j omega) = \frac { omega_n ^ 2} {- \omega ^ 2 + 2j delta \omega omega_n + omega_n ^ 2} = \frac { omega_n ^ 2} { omega_n ^ 2 \left (1- \frac { \omega ^ 2} { omega_n ^ 2} + \frac {2j delta omega} { omega_n} \right)} $$
$$ \Rightarrow T (j omega) = \frac {1} { \left (1- \frac { \omega ^ 2} { omega_n ^ 2} \right) + j \left ( \frac {2 delta omega} { omega_n} \right)} $$
Sea $ \frac { omega} { omega_n} = u $ Sustituya este valor en la ecuación anterior.
$$ T (j omega) = \frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 delta u)} $$
El valor de $ T (j omega) $ es igual a –
$$ M = | T (j omega) | = \frac {1} { sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 delta u) ^ 2}} $$
Fase $ T (j omega) $ –
$$ angle T (j omega) = – tan ^ {- 1} \left ( \frac {2 delta u} {1-u ^ 2} \right) $$
Esta es la frecuencia a la que la amplitud de la respuesta de frecuencia alcanza por primera vez su pico. Se designa $ omega_r $. Para $ \omega = omega_r $, la primera derivada de $ T (j omega) $ es cero.
Diferenciamos $ M $ con respecto a $ u $.
$$ \frac { text {d} M} { text {d} u} = – \frac {1} {2} left [ (1-u^2)^2+(2delta u)^2 right ]^ { \frac {-3} {2}} left [2(1-u^2)(-2u)+2(2delta u)(2delta) right ]$$
$$ \Rightarrow \frac { text {d} M} { text {d} u} = – \frac {1} {2} left [ (1-u^2)^2+(2delta u)^2 right ]^ { \frac {-3} {2}} left [4u(u^2-1
+2delta^2) right ]$$
Reemplaza, $ u = u_r $ y $ \frac { text {d} M} { text {d} u} == 0 $ en la ecuación anterior.
$$ 0 = – \frac {1} {2} left [ (1-u_r^2)^2+(2delta u_r)^2 right ]^ {- \frac {3} {2}} left [ 4u_r(u_r^2-1
+2delta^2) right ]$$
$$ \Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 delta ^ 2) = 0 $$
$$ \Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 delta ^ 2 = 0 $$
$$ \Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 delta ^ 2 $$
$$ \Rightarrow u_r = sqrt {1-2 delta ^ 2} $$
Sustituye $ u_r = \frac { omega_r} { omega_n} $ en la ecuación anterior.
$$ \frac { omega_r} { omega_n} = sqrt {1-2 delta ^ 2} $$
$$ \Rightarrow omega_r = omega_n sqrt {1-2 delta ^ 2} $$
Este es el valor pico (máximo) de $ T (j omega) $. Se designa $ M_r $.
Para $ u = u_r $, el valor de $ T (j omega) $ es –
$$ M_r = \frac {1} { sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 delta u_r) ^ 2}} $$
Reemplaza $ u_r = sqrt {1-2 delta ^ 2} $ y $ 1 – u_r ^ 2 = 2 delta ^ 2 $ en la ecuación anterior.
$$ M_r = \frac {1} { sqrt {(2 delta ^ 2) ^ 2 + (2 delta sqrt {1-2 delta ^ 2}) ^ 2}} $$
$$ \Rightarrow M_r = \frac {1} {2 delta sqrt {1- delta ^ 2}} $$
Un pico resonante en la respuesta de frecuencia corresponde a un pico en la respuesta transitoria en el dominio del tiempo para ciertos valores del factor de amortiguación $ delta $. Por tanto, el pico de resonancia y el rebasamiento del pico están correlacionados entre sí.
Este es el rango de frecuencia en el que $ T (j omega) $ cae al 70,7% de la frecuencia cero.
Para $ \omega = 0 $, el valor de $ u $ será cero.
Reemplazar, $ u = 0 $ en M.
$$ M = \frac {1} { sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 delta (0)) ^ 2}} = 1 $$
Por lo tanto, el valor $ T (j omega) $ es igual a uno para $ \omega = 0 $.
A una frecuencia de 3 dB, el valor de $ T (j omega) $ será el 70,7% del valor de $ T (j omega) $ en $ \omega = 0 $.
aquellos. por $ \omega = omega_B, M = 0.707 (1) = \frac {1} { sqrt {2}} $
$$ \Rightarrow M = \frac {1} { sqrt {2}} = \frac {1} { sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 delta u_b) ^ 2}} $$
$$ \Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$
Sea $ u_b ^ 2 = x $
$$ \Rightarrow 2 = (1-x) ^ 2 + (2 delta) ^ 2 x $$
$$ \Rightarrow x ^ 2 + (4 delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$
$$ \Rightarrow x = \frac {- (4 delta ^ 2 -2) pm sqrt {(4 delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$
Considere solo x positivo.
$$ x = 1-2 delta ^ 2 + sqrt {(2 delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$
$$ \Rightarrow x = 1-2 delta ^ 2 + sqrt {(2-4 delta ^ 2 + 4 delta ^ 4)} $$
Sustituir, $ x = u_b ^ 2 = \frac { omega_b ^ 2} { omega_n ^ 2} $
$$ \frac { omega_b ^ 2} { omega_n ^ 2} = 1-2 delta ^ 2 + sqrt {(2-4 delta ^ 2 + 4 delta ^ 4)} $$
$$ \Rightarrow omega_b = omega_n sqrt {1-2 delta ^ 2 + sqrt {(2-4 delta ^ 2 + 4 delta ^ 4)}} $$
El ancho de banda $ omega_b $ en la respuesta de frecuencia es inversamente proporcional al tiempo de subida $ t_r $ en la respuesta transitoria en el dominio del tiempo.
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