Análisis de respuesta de frecuencia

Ya hemos discutido el análisis en el dominio del tiempo de los sistemas de control y la especificación de los sistemas de control de segundo orden en el dominio del tiempo. En este capítulo, analicemos el análisis de respuesta en frecuencia de los sistemas de control y la especificación en el dominio de la frecuencia de los sistemas de control de segundo orden.

¿Qué es la respuesta de frecuencia?

La respuesta del sistema se puede dividir en transitoria y en estado estable. Podemos encontrar la respuesta transitoria usando integrales de Fourier. La respuesta estable del sistema a una onda sinusoidal de entrada se conoce como respuesta frecuente… En este capítulo, nos centraremos solo en la respuesta de estado estacionario.

Si se utiliza una onda sinusoidal como entrada a un sistema de invariancia de tiempo lineal (LTI), produce una salida de estado estable, que también es una onda sinusoidal. Las señales sinusoidales de entrada y salida tienen la misma frecuencia pero diferentes amplitudes y ángulos de fase.

Deje que la señal de entrada sea –

$$ r

La función de transferencia de bucle abierto será:

$$ G (s) = G (j omega) $$

Podemos representar $ G (j omega) $ en términos de magnitud y fase como se muestra a continuación.

$$ G (j omega) = | G (j omega) | ángulo G (j omega) $$

Inserta $ \omega = omega_0 $ en la ecuación anterior.

$$ G (j omega_0) = | G (j omega_0) | ángulo G (j omega_0) $$

Señal de salida

$$ c

  • EN amplitud la onda sinusoidal de salida se obtiene multiplicando la amplitud de la onda sinusoidal de entrada por $ G (j omega) $ por $ \omega = omega_0 $.

  • EN fase la onda sinusoidal de salida se obtiene sumando la fase de la onda sinusoidal de entrada y la fase $ G (j omega) $ en $ \omega = omega_0 $.

Dónde:

  • Y – la amplitud de la señal sinusoidal de entrada.

  • ω0 es la frecuencia angular de la señal sinusoidal de entrada.

Podemos escribir la frecuencia angular $ omega_0 $ como se muestra a continuación.

$$ omega_0 = 2 pi f_0 $$

Aquí $ f_0 $ es la frecuencia de la señal sinusoidal de entrada. Del mismo modo, puede seguir el mismo procedimiento para un sistema de control de circuito cerrado.

Características del dominio de la frecuencia

Especificaciones de dominio de frecuencia: pico resonante, frecuencia resonante y ancho de banda

Considere la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden como

$$ T (s) = \frac {C (s)} {R (s)} = \frac { omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 delta omega_ns + omega_n ^ 2} $$

Inserte $ s = j \omega $ en la ecuación anterior.

$$ T (j omega) = \frac { omega_n ^ 2} {(j omega) ^ 2 + 2 delta omega_n (j omega) + omega_n ^ 2} $$

$$ \Rightarrow T (j omega) = \frac { omega_n ^ 2} {- \omega ^ 2 + 2j delta \omega omega_n + omega_n ^ 2} = \frac { omega_n ^ 2} { omega_n ^ 2 \left (1- \frac { \omega ^ 2} { omega_n ^ 2} + \frac {2j delta omega} { omega_n} \right)} $$

$$ \Rightarrow T (j omega) = \frac {1} { \left (1- \frac { \omega ^ 2} { omega_n ^ 2} \right) + j \left ( \frac {2 delta omega} { omega_n} \right)} $$

Sea $ \frac { omega} { omega_n} = u $ Sustituya este valor en la ecuación anterior.

$$ T (j omega) = \frac {1} {(1-u ^ 2) + j (2 delta u)} $$

El valor de $ T (j omega) $ es igual a –

$$ M = | T (j omega) | = \frac {1} { sqrt {(1-u ^ 2) ^ 2 + (2 delta u) ^ 2}} $$

Fase $ T (j omega) $ –

$$ angle T (j omega) = – tan ^ {- 1} \left ( \frac {2 delta u} {1-u ^ 2} \right) $$

Frecuencia de resonancia

Esta es la frecuencia a la que la amplitud de la respuesta de frecuencia alcanza por primera vez su pico. Se designa $ omega_r $. Para $ \omega = omega_r $, la primera derivada de $ T (j omega) $ es cero.

Diferenciamos $ M $ con respecto a $ u $.

$$ \frac { text {d} M} { text {d} u} = – \frac {1} {2} left [ (1-u^2)^2+(2delta u)^2 right ]^ { \frac {-3} {2}} left [2(1-u^2)(-2u)+2(2delta u)(2delta) right ]$$

$$ \Rightarrow \frac { text {d} M} { text {d} u} = – \frac {1} {2} left [ (1-u^2)^2+(2delta u)^2 right ]^ { \frac {-3} {2}} left [4u(u^2-1
+2delta^2) right ]$$

Reemplaza, $ u = u_r $ y $ \frac { text {d} M} { text {d} u} == 0 $ en la ecuación anterior.

$$ 0 = – \frac {1} {2} left [ (1-u_r^2)^2+(2delta u_r)^2 right ]^ {- \frac {3} {2}} left [ 4u_r(u_r^2-1
+2delta^2) right ]$$

$$ \Rightarrow 4u_r (u_r ^ 2-1 +2 delta ^ 2) = 0 $$

$$ \Rightarrow u_r ^ 2-1 + 2 delta ^ 2 = 0 $$

$$ \Rightarrow u_r ^ 2 = 1-2 delta ^ 2 $$

$$ \Rightarrow u_r = sqrt {1-2 delta ^ 2} $$

Sustituye $ u_r = \frac { omega_r} { omega_n} $ en la ecuación anterior.

$$ \frac { omega_r} { omega_n} = sqrt {1-2 delta ^ 2} $$

$$ \Rightarrow omega_r = omega_n sqrt {1-2 delta ^ 2} $$

Pico resonante

Este es el valor pico (máximo) de $ T (j omega) $. Se designa $ M_r $.

Para $ u = u_r $, el valor de $ T (j omega) $ es –

$$ M_r = \frac {1} { sqrt {(1-u_r ^ 2) ^ 2 + (2 delta u_r) ^ 2}} $$

Reemplaza $ u_r = sqrt {1-2 delta ^ 2} $ y $ 1 – u_r ^ 2 = 2 delta ^ 2 $ en la ecuación anterior.

$$ M_r = \frac {1} { sqrt {(2 delta ^ 2) ^ 2 + (2 delta sqrt {1-2 delta ^ 2}) ^ 2}} $$

$$ \Rightarrow M_r = \frac {1} {2 delta sqrt {1- delta ^ 2}} $$

Un pico resonante en la respuesta de frecuencia corresponde a un pico en la respuesta transitoria en el dominio del tiempo para ciertos valores del factor de amortiguación $ delta $. Por tanto, el pico de resonancia y el rebasamiento del pico están correlacionados entre sí.

Banda ancha

Este es el rango de frecuencia en el que $ T (j omega) $ cae al 70,7% de la frecuencia cero.

Para $ \omega = 0 $, el valor de $ u $ será cero.

Reemplazar, $ u = 0 $ en M.

$$ M = \frac {1} { sqrt {(1-0 ^ 2) ^ 2 + (2 delta (0)) ^ 2}} = 1 $$

Por lo tanto, el valor $ T (j omega) $ es igual a uno para $ \omega = 0 $.

A una frecuencia de 3 dB, el valor de $ T (j omega) $ será el 70,7% del valor de $ T (j omega) $ en $ \omega = 0 $.

aquellos. por $ \omega = omega_B, M = 0.707 (1) = \frac {1} { sqrt {2}} $

$$ \Rightarrow M = \frac {1} { sqrt {2}} = \frac {1} { sqrt {(1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 delta u_b) ^ 2}} $$

$$ \Rightarrow 2 = (1-u_b ^ 2) ^ 2 + (2 delta) ^ 2 u_b ^ 2 $$

Sea $ u_b ^ 2 = x $

$$ \Rightarrow 2 = (1-x) ^ 2 + (2 delta) ^ 2 x $$

$$ \Rightarrow x ^ 2 + (4 delta ^ 2-2) x-1 = 0 $$

$$ \Rightarrow x = \frac {- (4 delta ^ 2 -2) pm sqrt {(4 delta ^ 2-2) ^ 2 + 4}} {2} $$

Considere solo x positivo.

$$ x = 1-2 delta ^ 2 + sqrt {(2 delta ^ 2-1) ^ 2 + 1} $$

$$ \Rightarrow x = 1-2 delta ^ 2 + sqrt {(2-4 delta ^ 2 + 4 delta ^ 4)} $$

Sustituir, $ x = u_b ^ 2 = \frac { omega_b ^ 2} { omega_n ^ 2} $

$$ \frac { omega_b ^ 2} { omega_n ^ 2} = 1-2 delta ^ 2 + sqrt {(2-4 delta ^ 2 + 4 delta ^ 4)} $$

$$ \Rightarrow omega_b = omega_n sqrt {1-2 delta ^ 2 + sqrt {(2-4 delta ^ 2 + 4 delta ^ 4)}} $$

El ancho de banda $ omega_b $ en la respuesta de frecuencia es inversamente proporcional al tiempo de subida $ t_r $ en la respuesta transitoria en el dominio del tiempo.

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