Características del dominio del tiempo
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En este capítulo, analicemos las especificaciones en el dominio del tiempo del sistema de segundo orden. La respuesta transitoria del sistema de segundo orden para el caso de amortiguación insuficiente se muestra en la siguiente figura.
Todas las especificaciones en el dominio del tiempo se muestran en esta figura. La respuesta antes del tiempo de estabilización se conoce como respuesta transitoria, y la respuesta después del tiempo de estabilización se conoce como respuesta de estado estable.
Este es el tiempo que se tarda en obtener una respuesta. la mitad de su costo final desde cero. Se designa $ t_d $.
Considere la respuesta transitoria de un sistema de segundo orden en t ≥ 0, cuando “δ” se encuentra entre cero y uno.
$$ c
El valor final de la característica escalonada es igual a uno.
Por lo tanto, en $ t = t_d $, el valor de la respuesta transitoria será 0.5. Reemplaza estos valores en la ecuación anterior.
$$ c (t_d) = 0.5 = 1- \left ( \frac {e ^ {- delta omega_nt_d}} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right) sin ( omega_dt_d + theta ) $$
$$ \Rightarrow \left ( \frac {e ^ {- delta omega_nt_d}} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right) sin ( omega_dt_d + theta) = 0.5 $$
Usando la aproximación lineal, obtienes tiempo de retardo td como
$$ t_d = \frac {1 + 0.7 delta} { omega_n} $$
Este es el tiempo que tarda la respuesta en surgir de 0% a 100% de su valor final… Esto es aplicable para sistemas no amortiguados… Para sistemas con excesiva amortiguación, considere una duración entre el 10% y el 90% del valor final. El tiempo de subida está indicado por tr…
En t = t1 = 0 c
Sabemos que la característica del paso final es uno.
Por lo tanto, en $ t = t_2 $, el valor de la reacción al salto es igual a uno. Reemplaza estos valores en la siguiente ecuación.
$$ c
$$ c (t_2) = 1 = 1- \left ( \frac {e ^ {- delta omega_nt_2}} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right) sin ( omega_dt_2 + theta ) $$
$$ \Rightarrow \left ( \frac {e ^ {- delta omega_nt_2}} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right) sin ( omega_dt_2 + theta) = 0 $$
$$ \Rightarrow sin ( omega_dt_2 + theta) = 0 $$
$$ \Rightarrow omega_dt_2 + theta = pi $$
$$ \Rightarrow t_2 = \frac { pi- theta} { omega_d} $$
Inserte los valores t1 y t2 en la siguiente ecuación hora de levantarse,
$$ t_r = t_2-t_1 $$
$$ por lo tanto : t_r = \frac { pi- theta} { omega_d} $$
De la ecuación anterior, podemos concluir que el tiempo de subida $ t_r $ y la frecuencia amortiguada $ omega_d $ son inversamente proporcionales entre sí.
Este es el tiempo que tarda en llegar la respuesta valor pico por primera vez. Se designa $ t_p $. Para $ t = t_p $, la primera derivada de la respuesta es cero.
Sabemos que la respuesta escalonada del sistema de segundo orden para el caso de amortiguación insuficiente es
$$ c
Diferencie $ c
$$ \frac { text {d} c
Reemplaza, $ t = t_p $ y $ \frac { text {d} c
$$ 0 = – \left ( \frac {e ^ {- delta omega_nt_p}} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right) left [ omega_dcos(omega_dt_p+theta)-deltaomega_nsin(omega_dt_p+theta) right ]$$
$$ \Rightarrow omega_n sqrt {1- delta ^ 2} cos ( omega_dt_p + theta) – delta omega_n sin ( omega_dt_p + theta) = 0 $$
$$ \Rightarrow sqrt {1- delta ^ 2} cos ( omega_dt_p + theta) – delta sin ( omega_dt_p + theta) = 0 $$
$$ \Rightarrow sin ( theta) cos ( omega_dt_p + theta) – cos ( theta) sin ( omega_dt_p + theta) = 0 $$
$$ \Rightarrow sin ( theta- omega_dt_p- theta) = 0 $$
$$ \Rightarrow sin (- omega_dt_p) = 0 Flecha derecha – sin ( omega_dt_p) = 0 Flecha derecha sin ( omega_dt_p) = 0 $$
$$ \Rightarrow omega_dt_p = pi $$
$$ \Rightarrow t_p = \frac { pi} { omega_d} $$
De la ecuación anterior, podemos concluir que el tiempo pico $ t_p $ y la frecuencia amortiguada $ omega_d $ son inversamente proporcionales entre sí.
Exceso de pico Mp se define como la desviación de la respuesta en tiempo pico del valor de respuesta final. También es llamado exceso máximo…
Matemáticamente, podemos escribir esto como
$$ M_p = c (t_p) -c ( infty) $$
Dónde:
c (tp) es el valor máximo de la respuesta.
c (∞) – valor de respuesta final (estado estable).
Para $ t = t_p $, la respuesta c
$$ c (t_p) = 1- \left ( \frac {e ^ {- delta omega_nt_p}} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right) sin ( omega_dt_p + theta) $ PS
Sustituye $ t_p = \frac { pi} { omega_d} $ en el lado derecho de la ecuación anterior.
$$ c (t_P) = 1- \left ( \frac {e ^ {- delta omega_n \left ( \frac { pi} { omega_d} \right)}} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right) sin \left ( omega_d \left ( \frac { pi} { omega_d} \right) + theta \right) $$
$$ \Rightarrow c (t_p) = 1- \left ( \frac {e ^ {- \left ( \frac { delta pi} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right)}} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right) (- sin ( theta)) $$
Lo sabemos
$$ sin ( theta) = sqrt {1- delta ^ 2} $$
Entonces obtenemos $ c (t_p) $ como
$$ c (t_p) = 1 + e ^ {- \left ( \frac { delta pi} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right)} $$
Inserte los valores de $ c (t_p) $ y $ c ( infty) $ en la ecuación de pico.
$$ M_p = 1 + e ^ {- \left ( \frac { delta pi} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right)} – 1 $$
$$ \Rightarrow M_p = e ^ {- \left ( \frac { delta pi} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right)} $$
Porcentaje de superación del valor pico% $ M_p $ se puede calcular usando esta fórmula.
$$ % M_p = \frac {M_p} {c ( infty)} times 100 % $$
Sustituyendo los valores de $ M_p $ y $ c ( infty) $ en la fórmula anterior, obtenemos el porcentaje de exceder el valor máximo de $ % M_p $ como
$$ % M_p = \left (e ^ {- \left ( \frac { delta pi} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right)} \right) times 100 % $$
De la ecuación anterior, podemos inferir que el porcentaje de exceder el valor pico de $ % M_p $ disminuirá si aumenta el factor de amortiguación $ delta $.
Este es el tiempo necesario para que la reacción alcance un estado estable y permanezca dentro de los rangos de tolerancia especificados alrededor del valor final. Los rangos de tolerancia típicos son 2% y 5%. El tiempo de estabilización se indica con $ t_s $.
El tiempo de estabilización para un rango de tolerancia del 5% es:
$$ t_s = \frac {3} { delta omega_n} = 3 tau $$
El tiempo de estabilización para un rango de tolerancia del 2% es:
$$ t_s = \frac {4} { delta omega_n} = 4 tau $$
Donde $ tau $ es una constante de tiempo igual a $ \frac {1} { delta omega_n} $.
El tiempo de estabilización $ t_s $ y la constante de tiempo $ tau $ son inversamente proporcionales al coeficiente de amortiguamiento $ delta $.
El tiempo de estabilización $ t_s $ y la constante de tiempo $ tau $ son independientes de la ganancia del sistema. Esto significa que incluso si cambia la ganancia del sistema, el tiempo de establecimiento $ t_s $ y la constante de tiempo $ tau $ nunca cambiarán.
Encontremos ahora las especificaciones en el dominio del tiempo de un sistema de control que tiene una función de transferencia de lazo cerrado $ \frac {4} {s ^ 2 + 2s + 4} $ cuando se aplica una señal de un solo paso como entrada a ese sistema de control.
Sabemos que la forma estándar de la función de transferencia del sistema de control de bucle cerrado de segundo orden es
$$ \frac { omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 delta omega_ns + omega_n ^ 2} $$
Al equiparar estas dos funciones de transferencia, obtenemos la frecuencia natural sostenida $ omega_n $ igual a 2 rad / s, y el factor de amortiguamiento $ delta $ igual a 0,5.
Conocemos la fórmula para la frecuencia amortiguada $ omega_d $ como
$$ omega_d = omega_n sqrt {1- delta ^ 2} $$
Sustituye los valores $ omega_n $ y $ delta $ en la fórmula anterior.
$$ \Rightarrow omega_d = 2 sqrt {1- (0.5) ^ 2} $$
$$ \Rightarrow omega_d = 1.732 : rad / seg $$
Reemplace, el valor de $ delta $ en la siguiente proporción
$$ theta = cos ^ {- 1} delta $$
$$ \Rightarrow theta = cos ^ {- 1} (0.5) = \frac { pi} {3} : rad $$
Introduzca los valores anteriores en la fórmula para cada especificación en el dominio del tiempo y simplifíquela para obtener los valores de la especificación en el dominio del tiempo para una función de transferencia determinada.
La siguiente tabla muestra las fórmulas para las especificaciones en el dominio del tiempo, el reemplazo de los valores requeridos y los valores finales.
| Especificación del dominio del tiempo | Fórmula | Sustitución de valores en una fórmula. | Valor final |
|---|---|---|---|
|
Tiempo de retardo |
$ t_d = \frac {1 + 0.7 delta} { omega_n} $ |
$ t_d = \frac {1 + 0.7 (0.5)} {2} $ |
$ t_d $ = 0.675 s |
|
Hora de levantarse |
$ t_r = \frac { pi- theta} { omega_d} $ |
$ t_r = \frac { pi – ( \frac { pi} {3})} {1.732} $ |
$ t_r $ = 1.207 s |
|
Hora pico |
$ t_p = \frac { pi} { omega_d} $ |
$ t_p = \frac { pi} {1.732} $ |
$ t_p $ = 1.813 s |
|
% Excedido el valor pico |
$ % M_p = \left (e ^ {- \left ( \frac { delta pi} { sqrt {1- delta ^ 2}} \right)} \right) times 100 % $ |
$ % M_p = \left (e ^ {- \left ( \frac {0.5 pi} { sqrt {1- (0.5) ^ 2}} \right)} \right) times 100 % $ |
$ % : M_p $ = 16,32% |
|
Tiempo de estabilización para el 2% del rango de tolerancia |
$ t_s = \frac {4} { delta omega_n} $ |
$ t_S = \frac {4} {(0,5) (2)} $ |
$ t_s $ = 4 segundos |
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