Sistemas de control – Gráficos de Nyquist

Los gráficos de Nyquist son una continuación de los gráficos polares para determinar la estabilidad de los sistemas de control de circuito cerrado cambiando ω de −∞ a ∞. Esto significa que los gráficos de Nyquist se utilizan para trazar la respuesta de frecuencia completa de la función de transferencia de bucle abierto.

Criterio de estabilidad de Nyquist

El criterio de estabilidad de Nyquist funciona principio de argumentación… Afirma que si hay P polos y Z ceros están encerrados en una trayectoria cerrada del plano s, entonces el plano correspondiente $ G (s) H (s) $ debe rodear el origen $ P – Z $ veces. Entonces, podemos escribir el número de entornos N como,

$$ N = PZ $$

  • Si una trayectoria cerrada en el plano cerrado s contiene solo polos, entonces la dirección del entorno en el plano $ G (s) H (s) $ será opuesta a la dirección del contorno cerrado en el plano s.

  • Si un contorno cerrado en el plano ‘s’ contiene solo ceros, entonces la dirección del entorno en el plano $ G (s) H (s) $ estará en la misma dirección que la dirección del contorno cerrado en ‘s’. avión.

Apliquemos ahora el principio de argumento a toda la mitad derecha del plano «s», eligiéndolo como un camino cerrado. Este camino elegido se llama Nyquist circuito.

Sabemos que un sistema de control de retroalimentación es estable si todos los polos de la función de transferencia de retroalimentación están en la mitad izquierda del plano «s». Entonces, los polos de la función de transferencia de bucle cerrado no son más que las raíces de la ecuación característica. A medida que aumenta el orden de la ecuación característica, es difícil encontrar las raíces. Entonces, comparemos estas raíces de la ecuación característica de la siguiente manera.

  • Los polos de la ecuación característica son los mismos que los polos de la función de transferencia de bucle abierto.

  • Los ceros de la ecuación característica son los mismos que en los polos de la función de transferencia de bucle cerrado.

Sabemos que un sistema de control de lazo abierto es estable si no hay un polo de lazo abierto en la mitad derecha del plano «s».

aquellos. $ P = 0 Flecha derecha N = -Z $

Sabemos que un sistema de control de retroalimentación es estable si no hay un polo de bucle cerrado en la mitad derecha del plano «s».

aquellos. $ Z = 0 Flecha derecha N = P $

Criterio de estabilidad de Nyquist establece que el número de entornos alrededor del punto crítico (1 + j0) debe ser igual a los polos de la ecuación característica, que no es más que los polos de la función de transferencia de bucle abierto en la mitad derecha del plano s. El desplazamiento del origen a (1 + j0) da el plano de la ecuación característica.

Reglas de trazado de Nyquist

Siga estas pautas para el trazado de Nyquist.

  • Encuentre los polos y ceros de la función de transferencia de lazo abierto $ G (s) H (s) $ en el plano s.

  • Dibuja una gráfica polar cambiando $ \omega $ de cero a infinito. Si hay un polo o un cero en s = 0, cambie $ \omega $ de 0+ a infinito para dibujar una gráfica polar.

  • Dibuje una imagen especular de la gráfica polar anterior para los valores de $ \omega $ que van de −∞ a cero (0− si cualquier polo o cero está presente en s = 0).

  • El número de semicírculos de radio infinito será igual al número de polos o ceros en el origen. El semicírculo de radio infinito comenzará en el punto donde termina el reflejo de la trama polar. Y este semicírculo de radio infinito terminará en el punto donde comienza el gráfico polar.

Después de construir un gráfico de Nyquist, podemos encontrar la estabilidad del sistema de control de lazo cerrado usando el criterio de estabilidad de Nyquist. Si el punto crítico (-1 + j0) se encuentra fuera del entorno, entonces el sistema de control de circuito cerrado es absolutamente estable.

Análisis de estabilidad mediante gráficos de Nyquist

A partir de los gráficos de Nyquist, podemos determinar si un sistema de control es estable, marginalmente estable o inestable en función de los valores de estos parámetros.

  • Ganar frecuencia de transición y frecuencia de transición de fase
  • Obtenga headroom y headroom de fase

Frecuencia de transición de fase

La frecuencia a la que el gráfico de Nyquist cruza el eje real negativo (ángulo de fase 1800) se conoce como frecuencia de transición de fase… Se designa $ omega_ {pc} $.

Ganancia de frecuencia de cruce

La frecuencia a la que la gráfica de Nyquist tiene una magnitud de uno se conoce como ganancia de frecuencia de cruce… Se designa $ omega_ {gc} $.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre la frecuencia de transición de fase y la frecuencia de transición de ganancia se muestra a continuación.

  • Si la frecuencia de transición de fase $ omega_ {pc} $ es mayor que la frecuencia de transición de ganancia $ omega_ {gc} $, entonces el sistema de control estable

  • Si la frecuencia de transición de fase $ omega_ {pc} $ es igual a la frecuencia de transición de ganancia $ omega_ {gc} $, entonces el sistema de control ligeramente estable

  • Si la frecuencia de transición de fase $ omega_ {pc} $ es menor que la frecuencia de transición de ganancia $ omega_ {gc} $, entonces el sistema de control inestable

Margen de beneficio

El margen de ganancia de $ GM $ es el recíproco del gráfico de Nyquist en la frecuencia de transición de fase.

$$ GM = \frac {1} {M_ {pc}} $$

Donde $ M_ {pc} $ es el valor de escala normal en la frecuencia de transición de fase.

Margen de fase

El margen de fase $ PM $ es igual a la suma de 1800 más el ángulo de fase en la frecuencia de transición de ganancia.

$$ PM = 180 ^ 0 + phi_ {gc} $$

Donde, $ phi_ {gc} $ es el ángulo de fase en la frecuencia de transición de ganancia.

La estabilidad del sistema de control basada en la relación entre el margen de ganancia y el margen de fase se muestra a continuación.

  • Si el margen de ganancia $ GM $ es mayor que uno y el margen de fase $ PM $ es positivo, entonces el sistema de control estable

  • Si el margen de ganancia $ GM $ es igual a uno y el margen de fase $ PM $ es igual a cero grados, entonces el sistema de control ligeramente estable

  • Si el margen de ganancia $ GM $ es menor que uno y / o el margen de fase $ PM $ es negativo, entonces el sistema de control inestable

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