Optimización convexa – Desigualdad de Jensen
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Sea S un conjunto convexo no vacÃo en $ mathbb {R} ^ n $ y $ f: S rightarrow mathbb {R} ^ n $. Entonces f es convexa si y solo si para cada entero $ k> 0 $
$ x_1, x_2,… x_k en S, Displaystyle sum limits_ {i = 1} ^ k lambda_i = 1, lambda_i geq 0, forall i = 1,2, s, k $, tenemos $ e \left ( displaystyle sum limits_ {i = 1} ^ k lambda_ix_i \right) leq displaystyle sum limits_ {i = 1} ^ k lambda _if \left (x \right) PS
Por inducción en k.
$ k = 1: x_1 in S $ Por lo tanto, $ f \left ( lambda_1 x_1 \right) leq lambda_i f \left (x_1 \right) $, porque $ lambda_i = 1 $.
$ k = 2: lambda_1 + lambda_2 = 1 $ y $ x_1, x_2 en S $
Por lo tanto, $ lambda_1x_1 + lambda_2x_2 in S $
Por lo tanto, por definición $ f \left ( lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 \right) leq lambda _1f \left (x_1 \right) + lambda _2f \left (x_2 \right) $
Sea el enunciado verdadero para $ n
Como consecuencia,
$ f \left ( lambda_1 x_1 + lambda_2 x_2 +…. + lambda_k x_k \right) leq lambda_1 f \left (x_1 \right) + lambda_2 f \left (x_2 \right) +… + lambda_k f \left (x_k \right) $
$ k = n + 1: $ Sea $ x_1, x_2,…. x_n, x_ {n + 1} en S $ y $ displaystyle sum limits_ {i = 1} ^ {n + 1} = 1 $
Por lo tanto, $ mu_1x_1 + mu_2x_2 +……. + mu_nx_n + mu_ {n + 1} x_ {n + 1} in S $
asà $ f \left ( mu_1x_1 + mu_2x_2 +… + mu_nx_n + mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \right) $
$ = f \left ( \left ( mu_1 + mu_2 +… + mu_n \right) \frac { mu_1x_1 + mu_2x_2 +… + mu_nx_n} { mu_1 + mu_2 + mu_3} + mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \right) $
$ = f \left ( mu_y + mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \right) $, donde $ mu = mu_1 + mu_2 +… + mu_n $ y
$ y = \frac { mu_1x_1 + mu_2x_2 +… + mu_nx_n} { mu_1 + mu_2 +… + mu_n} $ y también $ mu_1 + mu_ {n + 1} = 1, y en S $
$ \Rightarrow f \left ( mu_1x_1 + mu_2x_2 +… + mu_nx_n + mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \right) leq mu f \left (y \right) + mu_ {n +1} f \left (x_ {n + 1} \right) $
$ \Rightarrow f \left ( mu_1x_1 + mu_2x_2 +… + mu_nx_n + mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \right) leq $
$ \left ( mu_1 + mu_2 +… + mu_n \right) f \left ( \frac { mu_1x_1 + mu_2x_2 +… + mu_nx_n} { mu_1 + mu_2 +… + mu_n} \right) + mu_ {n + 1} f \left (x_ {n + 1} \right) $
$ \Rightarrow f \left ( mu_1x_1 + mu_2x_2 +… + mu_nx_n + mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \right) leq \left ( mu_1 + mu_2 +… + mu_n \right) $
$ left [ frac{mu_1}{mu_1+ mu_2+…+mu_n}f\left ( x_1 right )+…+frac{mu_n}{mu_1+ mu_2+…+mu_n}f\left ( x_n right ) right ]+ mu_ {n + 1} f \left (x_ {n + 1} \right) $
$ \Rightarrow f \left ( mu_1x_1 + mu_2x_2 +… + mu_nx_n + mu_ {n + 1} x_ {n + 1} \right) leq mu_1f \left (x_1 \right) + mu_2f \left (x_2 \right) +…. $
Por tanto, está probado.
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