Funciones cuasiconvexas y cuasicóncavas

Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $, donde $ S subset mathbb {R} ^ n $ es un conjunto convexo no vacío. Una función f se llama cuasiconvexa si para cada $ x_1, x_2 in S $ $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq max left {f \left (x_1 \right), f \left (x_2 \right) derecha }, lambda in \left (0, 1 \right) $

Por ejemplo, $ f \left (x \right) = x ^ {3} $

Sea $ f: S rightarrow R $, donde $ S subset mathbb {R} ^ n $ es un conjunto convexo no vacío. Una función f se llama cuasiconvexa si para cada $ x_1, x_2 in S $ $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) geq min left {f \left (x_1 \right), f \left (x_2 \right) derecha }, lambda in \left (0, 1 \right) $

Observaciones

  • Toda función convexa es cuasiconvexa, pero lo contrario no es cierto.
  • Una función que es tanto cuasi-convexa como cuasi-cóncava se llama cuasi-monotónica.

Teorema

Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $ y S un conjunto convexo no vacío en $ mathbb {R} ^ n $. La función f es cuasiconvexa si y solo si $ S _ { alpha} = \left (x in S: f \left (x \right) leq alpha right } $ es convexa para cada alpha $ real

Evidencia

Sea f cuasiconvexo en S.

Deje $ x_1, x_2 en S _ { alpha} $, por lo tanto, $ x_1, x_2 en S $ y $ max left {f \left (x_1 \right), f \left (x_2 \right) derecha } leq alpha $

Deje $ lambda in \left (0, 1 \right) $ y deje $ x = lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 leq max left {f \left (x_1 right ), f \left (x_2 \right) right } Rightarrow x in S $

Entonces $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq max left {f \left (x_1 \right), f \left (x_2 \right) right } leq alpha $

Por lo tanto, $ S _ { alpha} $ es convexo.

Conversar

Sea $ S _ { alpha} $ convexo para cada $ alpha $

$ x_1, x_2 in S, lambda in \left (0,1 \right) $

$ x = lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 $

Sea $ x = lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 $

Para $ x_1, x_2 en S _ { alpha}, alpha = max left {f \left (x_1 \right), f \left (x_2 \right) right } $

$ \Rightarrow lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 in S _ { alpha} $

$ \Rightarrow f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq alpha $

Así que está probado.

Teorema

Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $ y S un conjunto convexo no vacío en $ mathbb {R} ^ n $. La función f es cuasicóncava si y solo si $ S _ { alpha} = left {x in S: f \left (x \right) geq alpha right } $ es convexa para cada número real $ alpha $.

Teorema

Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $ y S un conjunto convexo no vacío en $ mathbb {R} ^ n $. La función f es cuasimonotona si y solo si $ S _ { alpha} = left {x in S: f \left (x \right) = alpha right } $ es convexo para cada $ alpha real PS

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