Función estrictamente cuasiconvexa
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Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} ^ n $ y S un conjunto convexo no vacÃo en $ mathbb {R} ^ n $, entonces f se llama una función estrictamente cuasiconvexa si para cada $ x_1, x_2 en S $ con $ f \left (x_1 \right) neq f \left (x_2 \right) $, tenemos $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 right )
Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} ^ n $ una función estrictamente cuasiconvexa y S un conjunto convexo no vacÃo en $ mathbb {R} ^ n $. Considere el problema: $ min : f \left (x \right), x in S $. Si $ hat {x} $ es una solución óptima local, entonces $ bar {x} $ es una solución óptima global.
Deje que exista $ bar {x} en S $ tal que $ f \left ( bar {x} \right) leq f \left ( hat {x} \right) $
Como $ bar {x}, hat {x} en S $ y S es un conjunto convexo, por lo tanto,
$$ lambda bar {x} + \left (1- lambda \right) hat {x} in S, forall lambda in \left (0,1 \right) $$
Como $ hat {x} $ es un mÃnimo local, $ f \left ( hat {x} \right) leq f \left ( lambda bar {x} + \left (1- lambda \right) hat {x} \right), forall lambda in \left (0, delta \right) $
Dado que f es estrictamente cuasiconvexo.
$$ f \left ( lambda bar {x} + \left (1- lambda \right) hat {x} \right)
De ahà la contradicción.
Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} ^ n $ y S un conjunto convexo no vacÃo en $ mathbb {R} ^ n $, entonces f es una función estrictamente cuasiconvexa si para cada $ x_1 x_2 in S $ con $ f \left (x_1 \right) neq f \left (x_2 \right) $, tenemos
$$ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right)> min left {f \left (x_1 \right), f \left (x_2 \right) right } $$.
$ e \left (x \right) = x ^ 2-2 $
Esta es una función estrictamente cuasiconvexa, porque si tomamos dos puntos cualesquiera $ x_1, x_2 $ en el dominio que satisfacen las restricciones en la definición de $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 derecho)
$ e \left (x \right) = – x ^ 2 $
Esta no es una función estrictamente cuasiconvexa, porque si tomamos $ x_1 = 1 $ y $ x_2 = -1 $ y $ lambda = 0.5 $, entonces $ f \left (x_1 \right) = – 1 = f \left ( x_2 \right) $, pero $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) = 0 $ Por lo tanto, no satisface las condiciones especificadas en la definición. Pero esta es una función cuasi-cóncava, porque si tomamos dos puntos cualesquiera en la región que satisfacen las restricciones en la definición de $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) > min left {f \left (x_1 \right), f \left (x_2 \right) right } $. A medida que la función aumenta a lo largo del eje x negativo y disminuye a lo largo del eje x positivo.
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