Función convexa y cóncava
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Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $, donde S es un conjunto convexo no vacío en $ mathbb {R} ^ n $, entonces $ f \left (x \right) $ se llama convexo en S if $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq lambda f \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) f \left (x_2 \right), forall lambda in \left (0,1 \right) $.
Por otro lado, sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $, donde S es un conjunto convexo no vacío en $ mathbb {R} ^ n $, entonces decimos que $ f \left (x \right) $ ser cóncavo en S si $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) geq lambda f \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) f \left (x_2 \right), forall lambda in \left (0, 1 \right) $.
Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $, donde S es un conjunto convexo no vacío en $ mathbb {R} ^ n $, entonces $ f \left (x \right) $ se llama estrictamente convexo en S si $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right)
Sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $, donde S es un conjunto convexo no vacío en $ mathbb {R} ^ n $, entonces $ f \left (x \right) $ se llama estrictamente cóncavo en S if $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right)> lambda f \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) f \left (x_2 \right), forall lambda in \left (0, 1 \right) $.
Una función lineal puede ser convexa o cóncava.
$ f \left (x \right) = left | x right | $ es una función convexa.
$ f \left (x \right) = \frac {1} {x} $ es una función convexa.
Sean $ f_1, f_2,…, f_k: mathbb {R} ^ n rightarrow mathbb {R} $ funciones convexas. Considere la función $ f \left (x \right) = displaystyle sum limits_ {j = 1} ^ k alpha_jf_j \left (x \right) $, donde $ alpha_j> 0, j = 1, 2,…k, $, entonces $ f \left (x \right) $ es una función convexa.
Dado que $ f_1, f_2,… f_k $ son funciones convexas
Por lo tanto, $ f_i \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq lambda f_i \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) f_i \left (x_2 \right), forall lambda in \left (0, 1 \right) $ y $ i = 1, 2,…., k $
Considere la función $ f \left (x \right) $.
Como consecuencia,
$ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) $
$ = Displaystyle sum limits_ {j = 1} ^ k alpha_jf_j \left ( lambda x_1 + 1- lambda \right) x_2 leq displaystyle sum limits_ {j = 1} ^ k alpha_j lambda f_j \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) f_j \left (x_2 \right) $
$ \Rightarrow f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq lambda \left ( displaystyle sum limits_ {j = 1} ^ k alpha _jf_j \left (x_1 \right) \right) + \left ( Displaystyle sum limits_ {j = 1} ^ k alpha _jf_j \left (x_2 \right) \right) $
$ \Rightarrow f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq lambda f \left (x_2 \right) leq \left (1- lambda \right) f \left (x_2 \right) $
Por lo tanto, $ f \left (x \right) $ es una función convexa.
Sea $ f \left (x \right) $ una función convexa en un conjunto convexo $ S subset mathbb {R} ^ n $, entonces el mínimo local de $ f \left (x \right) $ en S es mínimos globales.
Sea $ hat {x} $ un mínimo local para $ f \left (x \right) $, y $ hat {x} $ no es un mínimo global.
por tanto $ existe hat {x} en S $ tal que $ f \left ( bar {x} \right)
Como $ hat {x} $ es un mínimo local, hay un vecindario $ N_ varepsilon \left ( hat {x} \right) $ tal que $ f \left ( hat {x} \right) leq f \left (x \right), forall x in N_ varepsilon \left ( hat {x} \right) cap S $
Pero $ f \left (x \right) $ es una función convexa en S, entonces para $ lambda in \left (0, 1 \right) $
tenemos $ lambda hat {x} + \left (1- lambda \right) bar {x} leq lambda f \left ( hat {x} \right) + \left (1- lambda \right) f \left ( bar {x} \right) $
$ \Rightarrow lambda hat {x} + \left (1- lambda \right) bar {x}
$ \Rightarrow lambda hat {x} + \left (1- lambda \right) bar {x}
Pero por unos $ lambda
$ lambda hat {x} + \left (1- lambda \right) bar {x} in N_ varepsilon \left ( hat {x} \right) cap S $ y $ f \left ( lambda hat {x} + \left (1- lambda \right) bar {x} \right)
contradicción.
Por lo tanto, $ bar {x} $ es un mínimo global.
sea S un subconjunto no vacío de $ mathbb {R} ^ n $ y sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $, entonces el epígrafe f denotado por epi (f) o $ E_f $ es un subconjunto de $ mathbb {R} ^ n + 1 $, definido como $ E_f = left { \left (x, alpha \right): x in mathbb {R} ^ n, alpha in mathbb {R}, f \left (x \right) leq alpha right } $
sea S un subconjunto no vacío de $ mathbb {R} ^ n $, y sea $ f: S rightarrow mathbb {R} $, entonces el hipograma f se denota por hyp (f) o $ H_f = izquierda { \left (x, alpha \right): x in mathbb {R} ^ n, alpha in mathbb {R} ^ n, alpha in mathbb {R}, f \left (x \right) geq alpha right } $
Sea S un conjunto convexo no vacío en $ mathbb {R} ^ n $ y sea $ f: S rightarrow mathbb {R} ^ n $, entonces f es convexa si y solo si su epígrafe $ E_f $ es montones de convexos.
Sea f una función convexa.
Para mostrar que $ E_f $ es un conjunto convexo.
Deje $ \left (x_1, alpha_1 \right), \left (x_2, alpha_2 \right) in E_f, lambda in \left (0, 1 \right) $
Para mostrar $ lambda \left (x_1, alpha_1 \right) + \left (1- lambda \right) \left (x_2, alpha_2 \right) en E_f $
$ \Rightarrow left [ lambda x_1+\left ( 1-lambda right )x_2, lambda alpha_1+\left ( 1-lambda right )alpha_2 right ] in E_f $
$ f \left (x_1 \right) leq alpha _1, f \left (x_2 \right) leq alpha _2 $
Por lo tanto, $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq lambda f \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) f \left (x_2 \right) $
$ \Rightarrow f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq lambda alpha_1 + \left (1- lambda \right) alpha_2 $
Sea $ E_f $ un conjunto convexo.
Demostrar que f es convexa.
es decir, para mostrar si $ x_1, x_2 in S, lambda \left (0, 1 \right) $
$ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq lambda f \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) f \left ( x_2 \right) $
Deje $ x_1, x_2 in S, lambda in \left (0, 1 \right), f \left (x_1 \right), f \left (x_2 \right) in mathbb {R} $
Como $ E_f $ es un conjunto convexo, $ \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2, lambda f \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) \right) f \left (x_2 \right) in E_f $
Por lo tanto, $ f \left ( lambda x_1 + \left (1- lambda \right) x_2 \right) leq lambda f \left (x_1 \right) + \left (1- lambda \right) f \left (x_2 \right) $
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