DSP – Transformada Z inversa
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Si queremos analizar un sistema que ya está representado en el dominio de la frecuencia como una señal de tiempo discreta, vamos a la transformada Z inversa.
Matemáticamente, esto se puede representar como;
$$ x (n) = Z ^ {- 1} X (Z) $$
donde x (n) es la señal en el dominio del tiempo y X (Z) es la señal en el dominio de la frecuencia.
Si queremos representar la ecuación anterior en formato integral, podemos escribirla como
$$ x (n) = ( \frac {1} {2 Pi j}) oint X (Z) Z ^ {- 1} dz $$
Aquí la integral está a lo largo de un camino cerrado C. Este camino está dentro de ROC x (z) y contiene el origen.
Cuando se necesita un análisis en formato discreto, convertimos la señal de dominio de frecuencia de nuevo a formato discreto usando una transformada Z inversa. Seguimos las siguientes cuatro formas de definir la transformada Z inversa.
En este método, la transformada Z de la señal x (z) se puede representar como una relación de polinomios como se muestra a continuación;
$$ x (z) = N (Z) / D (Z) $$
Ahora, si continuamos dividiendo el numerador por el denominador, obtenemos una serie como se muestra a continuación.
$$ X (z) = x (0) + x (1) Z ^ {- 1} + x (2) Z ^ {- 2} +… quad… quad… $$
La secuencia anterior es una serie de transformada Z inversa de la señal dada (para n≥0), y el sistema anterior es causal.
Sin embargo, para n <0, la serie se puede escribir como;
$$ x (z) = x (-1) Z ^ 1 + x (-2) Z ^ 2 + x (-3) Z ^ 3 +… quad… quad… $$
Aquí, también, la señal se expresa primero en la forma N (z) / D (z).
Si es una fracción racional, se representará de la siguiente manera;
$ x (z) = b_0 + b_1Z ^ {- 1} + b_2Z ^ {- 2} +… quad… quad… + b_mZ ^ {- m}) / (a_0 + a_1Z ^ { -1} + a_2Z ^ {- 2} +… quad… quad… + a_nZ ^ {- N}) $
Lo anterior no es correcto cuando m
Si la proporción es incorrecta (es decir, incorrecta), entonces tenemos que transformarla en la forma correcta para resolver este problema.
En este método, obtenemos la transformada Z inversa x (n) sumando los residuos $[x(z)Z^{n-1}]$ en todos los polos. Matemáticamente, esto se puede expresar como
$$ x (N) = Displaystyle sum limits_ {todos cuatro polos quad X (z)} restos quad[x(z)Z^{n-1}]$$
Aquí el residuo para cualquier polo de orden m en el punto $ z = beta $ es
$$ Balances = \frac {1} {(m-1)!} Lim_ {Z rightarrow beta} lbrace \frac {d ^ {m-1}} {dZ ^ {m-1}} lbrace (z- beta) ^ mX (z) Z ^ {n-1} rbrace $$
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