DSP – convolución circular DFT

Tome dos secuencias de duración finita x1 (n) y x2 (n), con longitud entera como N. Sus DFT son X1 (K) y X2 (K) respectivamente, que se muestra a continuación:

$$ X_1 (K) = sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_1 (n) e ^ { \frac {j2 Pi kn} {N}} quad k = 0,1,2…N-1 $$ $$ X_2 (K) = sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_2 (n) e ^ { \frac {j2 Pi kn} {N}} quad k = 0, 1,2… N-1 $$

Ahora intentaremos encontrar la DFT de otra secuencia x3 (n), que se da como X3 (K)

$ X_3 (K) = X_1 (K) veces X_2 (K) $

Tomando IDFT de lo anterior obtenemos

$ x_3 (n) = \frac {1} {N} Displaystyle sum limits_ {n = 0} ^ {N-1} X_3 (K) e ^ { \frac {j2 Pi kn} {N}} PS

Después de resolver la ecuación anterior, finalmente obtenemos

$ x_3 (n) = Displaystyle sum limits_ {m = 0} ^ {N-1} x_1 (m) x_2[((n-m))_N] quad m = 0,1,2… N-1 $

Puntos de comparación Convolución lineal Convolución circular
Inclinación Conmutación lineal Conmutación circular
Muestras como resultado de convolución $ N_1 y más; N_2−1 $ $ Máx. (N_1, N_2) $
Encontrar la respuesta del filtro Posible Posiblemente relleno de cero

Métodos de convolución circular

Normalmente, hay dos métodos que se utilizan para realizar la convolución circular y son:

  • Método de círculo concéntrico,
  • Método de multiplicación de matrices.

Método de círculo concéntrico

Sean $ x_1 (n) $ y $ x_2 (n) $ dos secuencias dadas. Los pasos para la convolución circular de $ x_1 (n) $ y $ x_2 (n) $ son los siguientes:

  • Toma dos círculos concéntricos. Trace N patrones $ x_1 (n) $ en la circunferencia del círculo exterior (manteniendo la misma distancia entre los puntos) en sentido antihorario.

  • Para trazar $ x_2 (n) $, dibuje N patrones $ x_2 (n) $ en el sentido de las agujas del reloj en el círculo interior, comenzando el patrón en el mismo punto que el patrón 0 $ x_1 (n) $

  • Multiplica las muestras coincidentes en dos círculos y súmalos para obtener el resultado.

  • Gire el círculo interior en sentido antihorario, un patrón a la vez.

Método de multiplicación de matrices

El método matricial representa las dos secuencias dadas $ x_1 (n) $ y $ x_2 (n) $ en forma de matriz.

  • Una de las secuencias predeterminadas se repite mediante el desplazamiento cíclico de una muestra a la vez para formar una matriz NXN.

  • Otra secuencia se representa como una matriz de columnas.

  • Multiplicar dos matrices da el resultado de una convolución circular.

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