Procesamiento de señales digitales: una introducción a DFT
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Similar a la transformada de Fourier de una señal de tiempo continuo, la transformada de Fourier con tiempo discreto puede usarse para representar una secuencia discreta en su representación equivalente en el dominio de la frecuencia y el sistema de tiempo discreto LTI y para desarrollar varios algoritmos computacionales.
X (jω) en FT continua es una función continua de x (n). Sin embargo, DFT se ocupa de una representación de x (n) con muestras de su espectro X (ω). Por lo tanto, esta herramienta matemática es de gran valor computacional de una manera conveniente. Con esta herramienta, puede procesar secuencias tanto periódicas como no periódicas. Para muestrear secuencias periódicas, es necesario aumentar el período hasta el infinito.
De la introducción se desprende claramente que necesitamos saber cómo muestrear en el dominio de la frecuencia, es decir, muestrear X (ω). Por tanto, la conexión entre la transformada de Fourier discretizada y la DFT se establece como sigue.
De la misma manera, las secuencias periódicas pueden corresponder a este instrumento si el período N se incrementa hasta el infinito.
Sea la secuencia no periódica $ X (n) = lim_ {N to infty} x_N (n) $
Definiendo su transformada de Fourier,
$ X ( omega) = sum_ {n = – infty} ^ infty x (n) e ^ {- jwn} X (K delta omega) $… ecuación (1)
Aquí X (ω) se muestrea periódicamente en cada intervalo en radianes δω.
Dado que X (ω) es periódico a 2π radianes, solo necesitamos muestras en el rango principal. Las muestras se toman a intervalos equidistantes en el rango de frecuencia 0≤ω≤2π. La distancia entre los intervalos equivalentes es $ delta \omega = \frac {2 pi} {N} k $ radianes.
Ahora estimamos, $ \omega = \frac {2 pi} {N} k $
$ X ( \frac {2 pi} {N} k) = sum_ {n = – infty} ^ infty x (n) e ^ {- j2 pi nk / N}, $… eq ( 2)
donde k = 0,1, …… N-1
Después de dividir lo anterior y cambiar el orden de suma
$ X ( \frac {2 pi} {n} k) = Displaystyle sum limits_ {n = 0} ^ {N-1}[displaystylesumlimits_{l = -infty}^infty x(n-Nl)]e ^ {- j2 pi nk / N} $… eq (3)
$ sum_ {l = – infty} ^ infty x (n-Nl) = x_p (n) = quad periodic quad function quad quad de período quad N quad y quad it quad fourier serie cuádruple quad = sum_ {k = 0} ^ {N-1} C_ke ^ {j2 pi nk / N} $
donde, n = 0,1,….., N-1; ‘p’ – denota una entidad o función periódica
Coeficientes de Fourier:
$ C_k = \frac {1} {N} sum_ {n = 0} ^ {N-1} x_p (n) e ^ {- j2 pi nk / N} $ k = 0,1,…, N- 1… ecuación (4)
Comparando las ecuaciones 3 y 4, obtenemos:
$ NC_k = X ( \frac {2 pi} {N} k) $ k = 0,1,…, N-1… ecuación (5)
$ NC_k = x ( \frac {2 pi} {n} k) = x (e ^ {jw}) = Displaystyle sum limits_ {n = – infty} ^ infty x_p (n) e ^ { -j2 pi nk / N} $… ecuación (6)
De la expansión de la serie Fourier
$ x_p (n) = \frac {1} {N} Displaystyle sum limits_ {k = 0} ^ {N-1} NC_ke ^ {j2 pi nk / N} = \frac {1} {N} sum_ {k = 0} ^ {N-1} X ( \frac {2 pi} {N} k) e ^ {j2 pi nk / N} $… ecuación (7)
Donde n = 0.1,…, N-1
Aquí obtuvimos una señal periódica de X (ω). $ x (n) $ se puede extraer de $ x_p (n) $ solo si no hay alias en el dominio del tiempo. $ N geq L $
N = período $ x_p (n) $ L = período $ x (n) $
$ x (n) = begin {cases} x_p (n), & 0 leq n leq N-1 \ 0, & De lo contrario end {ases} $
Así, se logra un mapeo
Dice que la DFT de la combinación de señales es igual a la suma de la DFT de las señales individuales. Tome dos señales x1 (n) y x2 (n), cuyas DFT son iguales a X1 (ω) y X2 (ω), respectivamente. Así que si
$ x_1 (n) rightarrow X_1 ( omega) $ y $ x_2 (n) rightarrow X_2 ( omega) $
Entonces $ ax_1 (n) + bx_2 (n) rightarrow aX_1 ( omega) + bX_2 ( omega) $
dónde y y B son constantes.
Las propiedades de simetría de la DFT se pueden obtener de la misma manera que derivamos las propiedades de simetría de la DFT. Sabemos que la DFT de la secuencia x (n) se denota por X (K). Ahora, si x (n) y X (K) son una secuencia de valores complejos, entonces se puede representar como
$ x (norte) = x_R (norte) + jx_1 (norte), 0 leq n leq N-1 $
Y $ X (K) = X_R (K) + jX_1 (K), 0 leq K leq N-1 $
Considere una señal x (n), cuya DFT se da como X (K). Sea X (N) una secuencia de duración finita. Entonces, de acuerdo con el teorema de dualidad
Si, $ x (n) longleftrightarrow X (K) $
Entonces $ X (N) longleftrightarrow Nx[((-k))_N]PS
Entonces, usando este teorema, si conocemos la DFT, podemos encontrar fácilmente una secuencia de duración finita.
Suponga que hay una señal x (n) cuya DFT también la conocemos como X (K). Ahora, si la señal de conjugación compleja se da como x * (n), entonces podemos encontrar fácilmente la DFT sin cálculos especiales usando el teorema que se muestra a continuación.
Si, $ x (n) longleftrightarrow X (K) $
Entonces $ x * (n) longleftrightarrow X * ((K)) _ N = X * (NK) $
Multiplicar la secuencia x (n) por la secuencia exponencial compleja $ e ^ {j2 Pi kn / N} $ es equivalente al desplazamiento circular de la DFT por L unidades de frecuencia. Ésta es la propiedad dual del desplazamiento de tiempo cíclico.
Si, $ x (n) longleftrightarrow X (K) $
Entonces $ x (n) e ^ {j2 Pi Kn / N} longleftrightarrow X ((KL)) _ N $
Si hay dos señales x1 (n) y x2 (n) y sus respectivas DFT son iguales a X1 (k) y X2 (K), entonces la multiplicación de las señales en la secuencia de tiempo corresponde a la convolución cíclica de su DFT.
Si, $ x_1 (n) longleftrightarrow X_1 (K) quad & quad x_2 (n) longleftrightarrow X_2 (K) $
Entonces $ x_1 (n) times x_2 (n) longleftrightarrow X_1 (K) © X_2 (K) $
Para secuencias de valores complejos x (n) e y (n) en el caso general
Si, $ x (n) longleftrightarrow X (K) quad & quad y (n) longleftrightarrow Y (K) $
Entonces $ sum_ {n = 0} ^ {N-1} x (n) y ^ * (n) = \frac {1} {N} sum_ {k = 0} ^ {N-1} X (K ) Y ^ * (K) $
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