DSP – Filtrado lineal DFT
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DFT proporciona un enfoque alternativo a la convolución en el dominio del tiempo. Se puede utilizar para realizar un filtrado lineal en el dominio de la frecuencia.
Entonces $ Y ( omega) = X ( omega).H ( omega) longleftrightarrow y (n) $.
El problema con este enfoque en el dominio de la frecuencia es que $ Y ( omega) $, $ X ( omega) $ y $ H ( omega) $ son funciones continuas de which, lo cual es ineficiente para la computación digital en computadoras. Sin embargo, DFT proporciona una versión de muestra de estas señales para realizar esta tarea.
La ventaja es que con el conocimiento de métodos DFT más rápidos como FFT, se puede desarrollar un algoritmo más eficiente desde el punto de vista computacional para la computación digital en comparación con el enfoque en el dominio del tiempo.
Considere una secuencia de duración finita $[x(n) = 0,quad for,n<0quad andquad ngeq L]$ (ecuación generalizada), impulsa el filtro lineal de respuesta al impulso $[h(n) = 0,quad forn<0quad andquad ngeq M]PS
$$ x (n) y (n) $$ $$ salida = y (n) = sum_ {k = 0} ^ {M-1} h (k).x (nk) $$
Del análisis de la convolución se desprende claramente que la duración y (n) es igual a L + M – 1.
En el dominio de la frecuencia
$$ Y ( omega) = X ( omega).H ( omega) $$
Ahora $ Y ( omega) $ es una función continua de ω, y se muestrea en un conjunto de frecuencias discretas con el número de muestras distintas, que debe ser igual o mayor que $ L + M-1 $.
$$ DFT tamaño cuadrado = N geq L + M-1 $$
С $ \omega = \frac {2 pi} {N} k $,
$ Y ( omega) = X (k).H (k) $, donde k = 0,1,…., N-1
Donde X (k) y H (k) son la DFT de N puntos para x (n) y h (n), respectivamente. $ x (n) & h (n) $ se rellenan con ceros hasta la longitud N. Esto no distorsiona los espectros continuos de $ X ( omega) $ y $ H ( omega) $. Dado que $ N geq L + M-1 $, la DFT de N puntos de la secuencia de salida y (n) es suficiente para representar y (n) en el dominio de la frecuencia, y estos hechos significan que la multiplicación del punto N La DFT para X (k) y H (k) seguida del cálculo de la IDFT de N puntos debe dar y (n).
Esto significa que la convolución circular de N puntos de x (n) y H (n) rellenada con ceros es igual a la convolución lineal de x (n) y h (n).
Por tanto, la DFT se puede utilizar para filtrado lineal.
Precaución – N siempre debe ser mayor o igual que $ L + M-1 $. De lo contrario, el efecto anti-aliasing dañará la secuencia de salida.
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