Matemáticas discretas: reglas de inferencia
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Para deducir nuevas declaraciones a partir de declaraciones que ya sabemos que son verdaderas, Reglas de retiro son usados.
La lógica matemática se usa a menudo para pruebas lógicas. Las pruebas son argumentos válidos que determinan la verdad de los enunciados matemáticos.
Un argumento es una secuencia de declaraciones. El último enunciado es una conclusión, y todos los enunciados que la preceden se denominan premisas (o hipótesis). La conclusión está precedida por el símbolo «$ por lo tanto $» (lea por tanto). Un argumento válido es un argumento que se deriva de la verdad de las premisas.
Las reglas de inferencia proporcionan plantillas o pautas para construir argumentos válidos a partir de declaraciones que ya tenemos.
| Regla de inferencia | Nombre | Regla de inferencia | Nombre |
|---|---|---|---|
|
$$ begin {matriz} P \ hline por lo tanto P lor Q end {matriz} $$ |
Añadiendo |
$$ begin {matrix} P lor Q \ lnot P \ hline, por lo tanto Q end {matrix} $$ |
Silogismo disyuntivo |
|
$$ begin {matriz} P \ Q \ hline por lo tanto P land Q end {matriz} $$ |
Compuesto |
$$ begin {matrix} P rightarrow Q \ Q rightarrow R \ hline por lo tanto P rightarrow R end {matrix} $$ |
Silogismo hipotético |
|
$$ begin {matriz} P land Q \ hline por lo tanto P end {matriz} $$ |
Simplificación |
$$ begin {matrix} (P rightarrow Q) land (R rightarrow S) \ P lor R \ hline, por lo tanto Q lor S end {matrix} $$ |
El dilema constructivo |
|
$$ begin {matrix} P rightarrow Q \ P \ hline por lo tanto Q end {matrix} $$ |
Modus ponens |
$$ begin {matrix} (P rightarrow Q) land (R rightarrow S) \ lnot Q lor lnot S \ hline then lnot P lor lnot R end {matrix} $$ |
Dilema destructivo |
|
$$ begin {matrix} P rightarrow Q \ lnot Q \ hline por lo tanto lnot P end {matrix} $$ |
Modus tollens |
Si P es un requisito previo, podemos usar la regla de la suma para obtener $ P l o Q $.
$$ begin {matriz} P \ hline por lo tanto P lor Q end {matriz} $$
Sea P el enunciado: «Estudia mucho» es cierto.
Por lo tanto – «O estudia mucho, o estudia muy mal». Aquí Q es el juicio “es un muy mal estudiante”.
Si P y Q son dos premisas, podemos usar la regla de la conjunción para obtener $ P land Q $.
$$ begin {matriz} P \ Q \ hline por lo tanto P land Q end {matriz} $$
Deje P – «Aprende mucho»
Deje Q – «Él es el mejor chico de la clase»
Por lo tanto – «Estudia mucho y es el mejor chico de la clase».
Si $ P land Q $ es un requisito previo, podemos usar la regla de simplificación para obtener P.
$$ begin {matriz} P land Q \ hline por lo tanto P end {matriz} $$
“Estudia mucho y es el mejor chico de la clase”, $ P land Q $
Por lo tanto – «Él estudia mucho».
Si P y $ P rightarrow Q $ son dos premisas, podemos usar Modus Ponens para generar Q.
$$ begin {matrix} P rightarrow Q \ P \ hline por lo tanto Q end {matrix} $$
«Si tiene una contraseña, puede iniciar sesión en Facebook», $ P rightarrow Q $
«Tienes una contraseña», P
Por lo tanto: «Puede iniciar sesión en Facebook».
Si $ P rightarrow Q $ y $ lnot Q $ son dos premisas, podemos usar el método de Tollens para generar $ lnot P $.
$$ begin {matrix} P rightarrow Q \ lnot Q \ hline por lo tanto lnot P end {matrix} $$
«Si tiene una contraseña, puede iniciar sesión en Facebook», $ P rightarrow Q $
«No puede iniciar sesión en Facebook», $ lno Q $
Por lo tanto: «No tiene contraseña».
Si $ lnot P $ y $ P lor Q $ son dos premisas, podemos usar un silogismo disyuntivo para deducir Q.
$$ begin {matrix} lnot P \ P lor Q \ hline, por lo tanto Q end {matrix} $$
Helado sin vainilla, $ lno P $
Helado de vainilla o chocolate, $ P lor Q $
Por tanto – «Helado con sabor a chocolate».
Si $ P rightarrow Q $ y $ Q rightarrow R $ son dos premisas, podemos usar un silogismo hipotético para derivar $ P rightarrow R $
$$ begin {matrix} P rightarrow Q \ Q rightarrow R \ hline por lo tanto P rightarrow R end {matrix} $$
«Si llueve, no iré a la escuela», $ P rightarrow Q $
«Si no voy a la escuela, no necesito hacer mi tarea», $ Q rightarrow R $
Por lo tanto – «Si llueve, no tendré que hacer mi tarea».
Si $ (P rightarrow Q) land (R rightarrow S) $ y $ P lor R $ son dos requisitos previos, podemos usar un dilema constructivo para inferir $ Q lor S $.
$$ begin {matrix} (P rightarrow Q) land (R rightarrow S) \ P lor R \ hline, por lo tanto Q lor S end {matrix} $$
«Si llueve, me iré», $ (P rightarrow Q) $
«Si hace calor afuera, me ducharé», $ (R rightarrow S) $
«O va a llover o hace calor afuera», $ P lor R $
Por lo tanto, «ir de vacaciones o ir a la ducha».
Si $ (P rightarrow Q) land (R rightarrow S) $ y $ lnot Q lor lnot S $ son dos requisitos previos, podemos usar el dilema destructivo para inferir $ lnot P lor lnot R $.
$$ begin {matrix} (P rightarrow Q) land (R rightarrow S) \ lnot Q lor lnot S \ hline then lnot P lor lnot R end {matrix} $$
«Si llueve, me iré», $ (P rightarrow Q) $
«Si hace calor afuera, me ducharé», $ (R rightarrow S) $
«O no me iré de vacaciones o no iré a la ducha», $ lno Q lor lno S $
Por lo tanto – «O no llueve, o no hace calor afuera».
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