Desplazamiento al rojo y tasa de desaceleración

Las observaciones de Hubble utilizaron el hecho de que la velocidad radial está relacionada con el desplazamiento Líneas espectrales… Aquí veremos cuatro casos y encontraremos la relación entre la tasa de retorno ($ v_r $) y el corrimiento al rojo (z).

Caso 1: caso no relativista de movimiento de la fuente

En este caso, v es mucho menor que c. La fuente emite alguna señal (sonido, luz, etc.), que se propaga como Frentes de onda… El intervalo de tiempo entre el envío de dos señales consecutivas en la trama original es Δts… El intervalo de tiempo entre la recepción de dos señales consecutivas en el marco del observador es Δto

Movimiento de fuente

Si tanto el observador como la fuente están estacionarios, entonces Δts = Δto, pero este no es el caso aquí. En cambio, la relación es la siguiente.

$$ Delta t_o = Delta t_s + \frac { Delta l} {c} $$

Ahora $ Delta l = v Delta t_s $

Además, dado que (velocidad de onda x tiempo) = longitud de onda, obtenemos

$$ \frac { Delta t_o} { Delta t_s} = \frac { lambda_o} { lambda_s} $$

De las ecuaciones anteriores obtenemos la siguiente relación:

$$ \frac { lambda_o} { lambda_s} = 1 + \frac {v} {c} $$

donde $ lambda _s $ es la longitud de onda de la señal en la fuente y $ lambda _o $ es la longitud de onda de la señal interpretada por el observador.

Aquí, cuando la fuente se aleja del observador, v positivo.

Redshift –

$$ z = \frac { lambda_o – lambda_s} { lambda_s} = \frac { lambda_o} { lambda_s} – 1 $$

De las ecuaciones anteriores, obtenemos el corrimiento al rojo de la siguiente manera.

$$ z = \frac {v} {c} $$

Caso 2: el caso no relativista del movimiento del observador

En este caso, v es mucho menor que c. Aquí $ Delta l $ es diferente.

$$ Delta l = v Delta t_o $$

No relativista

Simplificado, obtenemos –

$$ \frac { Delta t_o} { Delta t_s} = \left (1 – \frac {v} {c} \right) ^ {- 1} $$

Obtenemos el corrimiento al rojo de la siguiente manera:

$$ z = \frac {v / c} {1-v / c} $$

DESDE v << c, la expresión del corrimiento al rojo para los casos I y II es aproximadamente la misma.

Veamos en qué se diferencian los corrimientos al rojo obtenidos en los dos casos mencionados.

$$ z_ {II} – z_I = \frac {v} {c} left [ frac{1}{1 – v/c}-1 right ]$$

Por lo tanto, $ z_ {II} – z_ {I} $ es un número muy pequeño debido al factor $ (v / c) ^ 2 $.

Esto significa que si v << c, no podemos decir si la fuente se está moviendo o el observador se está moviendo.

Entendamos ahora Conceptos básicos de STR (Teoría especial de la relatividad) –

  • La velocidad de la luz es constante.

  • Cuando una fuente (u observador) se mueve a una velocidad comparable a la velocidad de la luz, se observan efectos relativistas.

  • Dilatación del tiempo: $ Delta t_o = gamma Delta t_s $

  • Disminución de la longitud: $ Delta l_o = Delta t_s / gamma $

  • Aquí $ gamma $ es Factor de lorrenz, mayor que 1.

$$ gamma = \frac {1} { sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$

Caso 3: caso relativista de movimiento de la fuente

En este caso, v es comparable a c. Ver la misma figura que en el caso I. Debido al efecto relativista, se observa una dilatación del tiempo, por lo que se obtiene la siguiente relación. (La fuente se mueve con velocidad relativista)

$$ Delta t_o = gamma Delta t_s + \frac { Delta l} {c} $$

$$ Delta l = \frac {v gamma Delta t_s} {c} $$

$$ \frac { Delta t_o} { Delta t_s} = \frac {1 + v / c} { sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} $$

Con una mayor simplificación, obtenemos

$$ 1 + z = sqrt { \frac {1 + v / c} {1-v / c}} $$

La expresión anterior se conoce como Expresión de desplazamiento Doppler cinemático

Caso 4: el caso relativista del movimiento del observador

Consulte la misma figura que en el caso II. Debido al efecto relativista, se observa una disminución en el tiempo y, por tanto, se obtiene la siguiente relación. (El observador se mueve con rapidez relativista)

$$ Delta t_o = \frac { Delta t_s} { gamma} + \frac { Delta l} {c} $$

$$ Delta l = \frac {v Delta t_o} {c} $$

$$ \frac { Delta t_o} { Delta t_s} = \frac { sqrt {1- (v ^ 2 / c ^ 2)}} {1-v / c} $$

Con una mayor simplificación, obtenemos:

$$ 1 + z = sqrt { \frac {1+ v / c} {1- v / c}} $$

La expresión anterior es la misma que obtuvimos para el caso III.

Cosas para recordar

  • La velocidad de caída y el corrimiento al rojo de una estrella son cantidades interrelacionadas.

  • En el caso no relativista, no podemos determinar si la fuente está en movimiento o estacionaria.

  • En el caso relativista, no hay diferencia en la relación de desplazamiento al rojo y la tasa de retroceso para fuentes en movimiento u observadores.

  • Los relojes se mueven más lentamente, esto es un resultado directo de la teoría de la relatividad.

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