Cosmología – Universo con predominio de la radiación

En este capítulo, discutiremos las soluciones a las ecuaciones de Friedmann relacionadas con un universo dominado por radiación. Primero, comparamos la densidad de energía de la materia con la densidad de energía de la radiación. Esto nos permitirá ver si la materia o la radiación es predominante en nuestro universo.

Densidad de energía de radiación

La radiación predominante en el Universo moderno tiene muy poco que ver con las fuentes estelares, pero se asocia principalmente con la radiación reliquia residual (fondo cósmico de microondas).

La densidad de energía de radiación $ epsilon _ { gamma, 0} $ se puede expresar de la siguiente manera:

$$ epsilon _ { gamma, 0} = aT_0 ^ 4 $$

Aquí, y es la constante de radiación, que tiene la expresión $ (8 pi ^ 5k_B ^ 4) / (15h ^ 3c ^ 2) $, igual a a = 7.5657 × 10-15 ergio : cm – 3 K – 4… La temperatura T0 considerada aquí corresponde a la temperatura del cuerpo negro correspondiente a la radiación reliquia.

Sustituyendo los resultados, tenemos

$$ epsilon _ { gamma, 0} = aT_0 ^ 4 = 4 times 10 ^ {- 13} erg : cm ^ {- 3} $$

Densidad energética de la materia

En los siguientes cálculos se supone que estamos trabajando con un universo plano y K = 0. Consideramos la densidad de energía de la materia como $ epsilon = rho c ^ 2 $. Estamos considerando lo siguiente:

$$ rho_ {m, 0} c ^ 2 = 0.3 rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0.3 times \frac {3H_0 ^ 2} {8 pi G} times c ^ 2 $$

$$ rho_ {m, 0} c ^ 2 simeq 2 times 10 ^ {- 8} erg : cm ^ {- 3} $$

$$ rho_ {b, 0} c ^ 2 = 0.03 rho_ {c, 0} c ^ 2 = 0.03 times \frac {3H_0 ^ 2} {8 pi G} times c ^ 2 $$

$$ rho_ {b, 0} c ^ 2 simeq 2 times 10 ^ {- 9} erg : cm ^ {- 3} $$

Así, a partir del cálculo anterior, vemos que vivimos en un universo dominado por la materia. Esto está respaldado por el hecho de que el CMB está muy frío. Mirando hacia atrás en el tiempo, veremos que la temperatura de la radiación de la reliquia aumentará y podemos concluir que podría haber una era en la que la radiación prevaleciera en el Universo.

Cambio de densidad y factor de escala

La ecuación del fluido nos muestra que:

$$ dot { rho} + 3 \frac { dot {a}} {a} \left ( rho + \frac {P} {c ^ 2} \right) = 0 $$

Si consideramos un Universo polvoriento, tendremos P = 0. Si descartamos los resultados anteriores, creemos que la radiación prevalece en el Universo.

$$ dot { rho} _ {rad} + 3 \frac { dot {a}} {a} \left ( rho_ {rad} + \frac {P} {c ^ 2} \right) = 0 $$

Usando la relación de presión $ P_ {rad} = rho c ^ {2/3} $, tenemos –

$$ dot { rho} _ {rad} + 3 \frac { dot {a}} {a} \left ( rho_ {rad} + \frac { rho_ {rad}} {3} \right) = 0 $$

$$ dot { rho} _ {rad} + 4 \frac { dot {a}} {a} ( rho_ {rad}) = 0 $$

Con una mayor simplificación, tenemos

$$ \frac {1} {a ^ 4} \frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t} ( rho_ {rad} a ^ 4) = 0 $$

$$ rho_ {rad} a ^ 4 = : constante $$

$$ rho_ {contento} propto \frac {1} {a ^ 4} $$

El resultado anterior muestra la variación inversa de la cuarta potencia de a con $ rho $.

Físicamente, esto se puede interpretar como $ a ^ {- 3} $, que surge del cambio en el volumen a medida que aumenta. El $ a ^ {- 1} $ restante se puede considerar como la energía perdida por un fotón debido a la expansión del espacio en el Universo (corrimiento al rojo cosmológico 1 + z = a-1).

La siguiente imagen muestra el cambio en la densidad de la materia y la radiación a lo largo del tiempo.

Apartamento con predominio

Para un universo plano dominado por la radiación, tendríamos la siguiente ecuación de Friedmann:

$$ \left ( \frac { dot {a}} {a} \right) ^ 2 = \frac {8 pi G rho} {3} $$

$$ \left ( \frac { dot {a}} {a} \right) ^ 2 = \frac {8 pi G} {3} \frac { rho_0} {a ^ 4} $$

Al simplificar y aplicar la solución a la ecuación diferencial, tenemos:

$$ ( dot {a}) ^ 2 = \frac {8 pi G rho_0} {3a ^ 2} $$

$$ \Rightarrow a

Entonces tenemos –

$$ a

De la ecuación anterior, vemos que la tasa de aumento en el factor de escala es más lenta que la de un universo polvoriento.

Cosas para recordar

  • La radiación predominante en el Universo moderno tiene muy poco que ver con las fuentes estelares.

  • Para un universo polvoriento, la presión es cero.

  • CMB hace mucho frío.

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