Amplitud modulada
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Una onda continua va continuamente sin intervalos, y es una señal de mensaje de banda base que contiene información. Esta onda debe modularse.
Según la definición estándar, «la amplitud de la señal portadora cambia de acuerdo con la amplitud instantánea de la señal moduladora». Esto significa que la amplitud de la señal portadora que no contiene información cambia en cada momento de acuerdo con la amplitud de la señal que contiene información. Esto se explica bien con los siguientes números.
La primera figura muestra una forma de onda moduladora que es una señal de mensaje. La siguiente es la onda portadora, que es una señal de alta frecuencia y no contiene información. Y el último es la onda modulada resultante.
Puede ver que los picos positivo y negativo de la onda portadora están conectados por una línea imaginaria. Esta línea ayuda a recrear la forma de onda de banda base exacta. Esta línea imaginaria en la onda portadora se llama La envoltura… Es lo mismo que la señal de mensaje.
A continuación se muestran las expresiones matemáticas para estas ondas.
Sea la señal moduladora,
$$ m \left (t \right) = A_m cos \left (2 pi f_mt \right) $$
y la señal portadora será
$$ c \left (t \right) = A_c cos \left (2 pi f_ct \right) $$
Dónde:
$ A_m $ y $ A_c $ son la amplitud de la señal moduladora y la señal portadora, respectivamente.
$ f_m $ y $ f_c $ son las frecuencias de banda base y portadora, respectivamente.
Entonces la ecuación de la onda modulada en amplitud será
$ s
Onda portadora después de la modulación, si se calcula el nivel modulado, este intento se llama Índice de modulación o Profundidad de modulación… Indica el nivel de modulación de la onda portadora.
Modifique la Ecuación 1 como se muestra a continuación.
$ s
$ \Rightarrow s \left (t \right) = A_c left [ 1 + mu cos \left ( 2 pi f_m t right ) right ] cos \left (2 pi f_ct \right) $ (Ecuación 2)
Donde $ mu $ es el índice de modulación igual a la proporción de $ A_m $ y $ A_c $. Matemáticamente, podemos escribir esto como
$ mu = \frac {A_m} {A_c} $ (Ecuación 3)
Por lo tanto, podemos calcular el valor del índice de modulación utilizando la fórmula anterior cuando se conocen las amplitudes del mensaje y las señales portadoras.
Ahora derivemos otra fórmula para el índice de modulación, considerando la Ecuación 1. Podemos usar esta fórmula para calcular el valor del índice de modulación cuando se conocen las amplitudes máxima y mínima de la onda modulada.
Sean $ A_ max $ y $ A_ min $ las amplitudes máxima y mínima de la onda modulada.
Obtendremos la amplitud máxima de la onda modulada cuando $ cos \left (2 pi f_mt \right) $ sea 1.
$ \Rightarrow A_ max = A_c + A_m $ (Ecuación 4)
Obtendremos la amplitud mínima de la onda modulada cuando $ cos \left (2 pi f_mt \right) $ sea -1.
$ \Rightarrow A_ min = A_c – A_m $ (Ecuación 5)
Suma la ecuación 4 y la ecuación 5.
$$ A_ max + A_ min = A_c + A_m + A_c-A_m = 2A_c $$
$ \Rightarrow A_c = \frac {A_ max + A_ min} {2} $ (Ecuación 6)
Reste la ecuación 5 de la ecuación 4.
$$ A_ max – A_ min = A_c + A_m – \left (A_c -A_m \right) = 2A_m $$
$ \Rightarrow A_m = \frac {A_ max – A_ min} {2} $ (Ecuación 7)
La relación de la Ecuación 7 y la Ecuación 6 será la siguiente.
$$ \frac {A_m} {A_c} = \frac { \left (A_ {max} – A_ {min} \right) / 2} { \left (A_ {max} + A_ {min} \right) / 2 } $$
$ \Rightarrow mu = \frac {A_ max – A_ min} {A_ max + A_ min} $ (ecuación 8)
Por tanto, la Ecuación 3 y la Ecuación 8 son dos fórmulas para el índice de modulación. El índice de modulación, o profundidad de modulación, a menudo se expresa como un porcentaje, llamado porcentajes de modulación. Obtendremos porcentaje de modulaciónsimplemente multiplicando el valor del índice de modulación por 100.
Para una modulación ideal, el valor del índice de modulación debe ser 1, lo que significa que el porcentaje de modulación debe ser del 100%.
Por ejemplo, si este valor es menor que 1, es decir, el índice de modulación es 0.5, entonces la salida modulada se verá como la siguiente figura. Se llama Submodulación… Tal ola se llama onda submodulada…
Si el índice de modulación es mayor que 1, es decir, 1,5 más o menos, entonces la onda será onda sobremodulada… Se verá como la siguiente figura.
A medida que aumenta el índice de modulación, la portadora experimenta una inversión de fase de 180 °, lo que genera bandas laterales adicionales y, por lo tanto, distorsiona la forma de onda. Esta forma de onda sobremodulada provoca una interferencia que no se puede eliminar.
Banda ancha (BW) es la diferencia entre las frecuencias de señal más alta y más baja. Matemáticamente, podemos escribir esto como
$$ BW = f_ {max} – f_ {min} $$
Considere la siguiente ecuación de onda modulada en amplitud.
$$ s \left (t \right) = A_c left [ 1 + mu cos \left ( 2 pi f_m t right ) right ] cos \left (2 pi f_ct \right) $$
$$ \Rightarrow s \left (t \right) = A_c cos \left (2 pi f_ct \right) + A_c mu cos (2 pi f_ct) cos \left (2 pi f_mt \right) $$
$ \Rightarrow s \left (t \right) = A_c cos \left (2 pi f_ct \right) + \frac {A_c mu} {2} cos left [ 2pi \left ( f_c+f_m right ) tright ]+ \frac {A_c mu} {2} cos left [ 2pi \left ( f_c-f_m right ) tright ]PS
Por tanto, una onda de amplitud modulada tiene tres frecuencias. Estos son la frecuencia portadora $ f_c $, la frecuencia de banda lateral alta $ f_c + f_m $ y la frecuencia de banda lateral baja $ f_c-f_m $.
Aquí,
$ f_ {max} = f_c + f_m $ y $ f_ {min} = f_c-f_m $
Reemplaza los valores $ f_ {max} $ y $ f_ {min} $ en la fórmula del ancho de banda.
$$ BW = f_c + f_m- \left (f_c-f_m \right) $$
$$ \Rightarrow BW = 2f_m $$
Por tanto, se puede decir que el ancho de banda requerido para una onda modulada en amplitud es el doble de la frecuencia de la señal moduladora.
Considere la siguiente ecuación de onda modulada en amplitud.
$ s \left (t \right) = A_c cos \left (2 pi f_ct \right) + \frac {A_c mu} {2} cos left [ 2pi \left ( f_c+f_m right ) tright ]+ \frac {A_c mu} {2} cos left [ 2pi \left ( f_c-f_m right ) tright ]PS
La potencia AM es igual a la suma de las potencias de la banda lateral superior e inferior de la portadora.
$$ P_t = P_c + P_ {USB} + P_ {LSB} $$
Sabemos que la fórmula estándar para la potencia de la señal cos
$$ P = \frac {{v_ {rms}} ^ {2}} {R} = \frac { \left (v_m / sqrt {2} \right) ^ 2} {2} $$
Dónde:
$ v_ {rms} $ es el valor cuadrático medio de la señal cos.
$ v_m $ es el valor máximo de la señal cos.
Primero, busquemos el operador, los poderes de banda lateral superior e inferior a su vez.
Llevando poder
$$ P_c = \frac { \left (A_c / sqrt {2} \right) ^ 2} {R} = \frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} $$
Potencia de banda lateral superior
$$ P_ {USB} = \frac { \left (A_c mu / 2 sqrt {2} \right) ^ 2} {R} = \frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ { mu}} ^ {2}} {8R} $$
Del mismo modo, obtenemos la misma potencia de banda lateral inferior que la banda lateral superior.
$$ P_ {LSB} = \frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ { mu}} ^ {2}} {8R} $$
Ahora agreguemos estos tres poderes para obtener el poder AM.
$$ P_t = \frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} + \frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ { mu}} ^ {2}} {8R} + \frac {{A_ {c}} ^ {2} {_ { mu}} ^ {2}} {8R} $$
$$ \Rightarrow P_t = \left ( \frac {{A_ {c}} ^ {2}} {2R} \right) \left (1+ \frac { mu ^ 2} {4} + \frac { mu ^ 2} {4} \right) $$
$$ \Rightarrow P_t = P_c \left (1+ \frac { mu ^ 2} {2} \right) $$
Podemos usar la fórmula anterior para calcular la potencia AM cuando se conocen la potencia de la portadora y el índice de modulación.
Si el índice de modulación es $ mu = 1 $, entonces la potencia de la onda AM es 1,5 veces la potencia de la portadora. Por lo tanto, la potencia requerida para transmitir la onda AM es 1,5 veces la potencia de la portadora para una modulación ideal.
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